Referencias para la teoría de la representación de algunos grupos algebraicos

$\newcommand \G{\mathbf{G}}$ $\newcommand \GL{\mathrm{GL}}$ $\newcommand \SL{\mathrm{SL}}$ $\newcommand \Z{\mathbb{Z}}$ $\newcommand \Q{\mathbb{Q}}$Solo para sacar esto de la cola sin respuesta, permítanme dar la siguiente respuesta:

1) ¡Sí! De hecho, hay toneladas. Cualquier libro sobre 'grupos algebraicos lineales' cubrirá lo que desea (aunque el libro de Waterhouse es extraño, elude gran parte de la teoría). Sin embargo, específicamente, recomendaría estas notas de Milne; creo que son tan buenas como uno podría esperar en términos de integridad. Tienen la desventaja de ser algo cautelosos en el uso de la geometría algebraica moderna, pero solo en el lenguaje. Es decir, Milne habla de nilpotentes (que son fundamentales en la característica$p$teoría ya que mapas tan simples como$\text{SL}_p\to\text{PGL}_p$tienen núcleo no reducido) pero insiste en hablar de$\text{MaxSpec}(A)$en lugar de$\text{Spec}(A)$por alguna razón desconocida, no hace la diferencia, pero vale la pena señalarlo.

También siempre estoy ansioso por representar las notas de Brian Conrad (para la mayoría de las cosas). En concreto, son estos de un primer curso sobre grupos algebraicos lineales. Tienen la gran ventaja de estar escritos desde un 'punto de vista algebro-geométrico moderno' (por ejemplo, los cocientes se definen como cociente fppf haces, que es como deberían definirse), pero son presa del neuroticismo que afecta a todas las notas en vivo. --Están bastante por todas partes. Desafortunadamente, eso realmente no cubre lo que está pidiendo porque no cubre la teoría de la estructura de los grupos reductivos (y sus representaciones). Para eso tendrás que mirar notas.de su curso de seguimiento. Nuevamente, estas son probablemente mis notas favoritas para el tema, pero son algo difíciles de buscar rápidamente (algo en lo que sobresalen las notas de Milne).

Finalmente, si desea una "solución rápida", puede consultar la primera sección (~50 páginas) de estas notas de Brian Conrad; creo que el mismo material se encuentra aproximadamente en el apéndice de su libro (con Prasad y Gabber) Grupos pseudo-reductivos .

Permítame señalar que si realmente solo está interesado en los grupos que ha mencionado (más de$\mathbb{Q}$), entonces todo es fácilmente descriptible.

Para$\mathbf{G}_m$(Todo aquí habrá terminado$\mathbb{Q}$) representaciones$\mathbf{G}_m\to\GL(V)$corresponden a las$\Z$-calificaciones$\displaystyle V=\bigoplus_{i\in\Z}V_i$dónde$\G_m$actúa sobre$V_i$por el personaje$z\mapsto z^i$. En particular, toda representación es semisimple y las representaciones simples son solo caracteres (que son precisamente los mapas$z\mapsto z^i$).

Para$\SL_2$las cosas son un poco más complicadas. A saber,$\SL_2$es reductivo (de hecho, semisimple) y por lo tanto toda representación algebraica de$\SL_2$es semisencillo. Por lo tanto, realmente solo necesitamos describir las representaciones simples de$\SL_2$. Para ello, tenga en cuenta que$\SL_2$actúa naturalmente sobre polinomios homogéneos de grado$m$en las variables$x,y$(por$(a_{ij})f(x,y):=f(a_{11}x+a_{12}y,a_{21}x+a_{22}y)$, llame a esta representación$V_m$. Entonces, toda representación simple de$\SL_2$es isomorfo precisamente a uno de estos$V_m$.

(Tenga en cuenta que no es una coincidencia que$V_m\cong \mathcal{O}(m)(\mathbb{P}^1)$desde$\mathbb{P}^1$es la variedad bandera$\SL_2/B_2$asociado a$\SL_2$y el teorema de Borel-Weil describe una relación precisa entre las representaciones de$\SL_2$y (ciertos) conjuntos de líneas en la variedad de banderas; esto funciona de manera más general para un grupo semisimple).

Finalmente,$\GL_2$también es reductivo (pero no semisimple), por lo que para describir su teoría de la representación solo necesitamos describir sus representaciones simples. Estos vienen en dos sabores. Es decir, existe la representación tautológica irreductible de$\GL_n$(actuando$k^n$de la forma habitual) y están las representaciones$\wedge^i(k^n)$para$i\leqslant n$. Esos son todos.

Por supuesto, para ver de dónde vienen, la verdadera respuesta es la teoría de los pesos dominantes. Dicho esto, siempre es más fácil pensar en la analogía que conoces de la teoría de la representación de un grupo finito. Es decir, si$G$es un grupo finito y$\text{Reg}(G)$denota la representación regular izquierda de$G$, en otras palabras$G$actuar sobre el álgebra de grupos$\mathbb{C}[G]$, entonces hay una descomposición

dónde$\text{Irr}(G)$es el conjunto de clases de isomorfismos de representaciones algebraicas irreducibles de$G$. Algo similar sucede para un grupo reductivo.$G$. por ejemplo, para$\GL_n$se tiene que el anillo de coordenadas de$\GL_n$(como una variedad) se descompone como un$\GL_n\times\GL_n$-rep (a través del mapa de multiplicación) como una suma directa de$V\boxtimes V^\ast$dónde$V$atropella las representaciones irreductibles de$\GL_n$. Entonces, vea si puede usar esto para resolver lo que sucede al menos para$\G_m$.

2) Como mencioné en el comentario, esto realmente depende de lo que$\Q$-álgebras que elijas. Por ejemplo, sabes por la filosofía de Yoneda que cualquier representación$\rho:G\to\GL_n$de un grupo algebraico$G$está determinado por los mapas de grupo$G(R)\to\GL_n(R)$como$R$varía sobre todo$\Q$-álgebras. De hecho, basta con pensar en ello para$R=\mathcal{O}_G(G)$lo que te da la noción de un comodulo.

Por supuesto, las cosas van a estar mal si desea considerar solo los valores de la representación en algunos valores aleatorios.$R$, incluso para ejemplos$R=\Q$Creo. Para ser honesto, no tengo un ejemplo de primera mano (probablemente no haya uno difícil), pero si miras otra cosa que no sea$\Q$, decir$\Q(i)$, obtendrá muchas representaciones de$\GL_2(\Q(i))$(digamos) eso no será algebraico: piense en el que se induce a partir del automorfismo no trivial de$\Q(i)$.