Clasificación de curvas elípticas, incluido el caso de campos no perfectos.

Esto es demasiado largo para un comentario. Si no responde a su pregunta, por favor hágamelo saber. También escribí esto a toda prisa, así que por favor revisa mis afirmaciones.

No sé si estás enfocado en la característica 2 o 3, pero creo que si$k$es de característica$p>3$entonces para curvas elípticas$E_i$para$i=1,2$encima$k$uno tiene eso$(E_1)_{\overline{k}}\cong (E_2)_{\overline{k}}$si y si$(E_1)_{k^\mathrm{sep}}\cong (E_2)_{k^\mathrm{sep}}$. La razón es 'simple' (pero utiliza maquinaria pesada). Considere el funtor

Si$E_1$y$E_2$son isomorfos sobre$\overline{k}$entonces, en particular, no es difícil ver que$\mathrm{Isom}(E_1,E_2)$es un torsor fpqc para$\mathrm{Aut}(E_1)$. Este es un esquema de grupo finito sobre$\mathrm{Spec}(k)$, y dado que los morfismos afines satisfacen la descendencia fpqc (ver Etiqueta 0245 ) sabemos que el$\mathrm{Aut}(E_1)$-torsor$\mathrm{Isom}(E_1,E_2)$es representable por algunos$k$-esquema$I$. Pero desde$\mathrm{char}(k)>3$lo sabemos$|\mathrm{Aut}(E_1)|$es invertible en$k$(cf. [Silv, Teorema 10.1]) y entonces sabemos que$\mathrm{Aut}(E_1)$es suave$\mathrm{Spec}(k)$(por ejemplo, ver [Mil, Corolario 11.31]), y así$I$también debe ser suave$\mathrm{Spec}(k)$(por ejemplo, consulte la etiqueta 02VL ). Pero entonces$I(k^\mathrm{sep})\ne\varnothing$(ver [Poon, Proposición 3.5.70]). De este modo,$(E_1)_{k^\mathrm{sep}}\cong (E_2)_{k^\mathrm{sep}}$.

Entonces, suponiendo$\mathrm{char}(k)>3$uno puede usar los argumentos habituales de descenso de Galois para clasificar las curvas elípticas sobre$k$(por ejemplo, vea el Teorema 27 de mi publicación de blog aquí ).

Por característica$p=2,3$, lo mismo funciona para clasificar formas de$E$asumiendo que$p\nmid |\mathrm{Aut}(E)|$. Si$p\mid |\mathrm{Aut}(E)|$No estoy seguro de lo que sucede.

Referencias

[Mil] Milne, JS, 2017. Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupo de tipo finito sobre un campo (Vol. 170). Prensa de la Universidad de Cambridge.

[Poon] Poonen, B., 2017. Puntos racionales sobre las variedades (Vol. 186). Sociedad Matemática Americana..

[Silv] Silverman, JH, 2009. La aritmética de las curvas elípticas (Vol. 106). Springer Science & Business Media.

Depende de lo que entiendas por forma de Weierstrass. Cada curva elíptica sobre un campo$k$se describe mediante una ecuación$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}$. Ver MP p47.

Si la característica no es 2 o 3, entonces un argumento elemental (M p50) muestra que puedes poner esto en la forma$E(a,b):Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}$. Si la característica es 2 o 3, es posible que no pueda ponerla de esta forma.

Si la característica no es 2 y 3, es fácil ver que dos curvas E(a,b) y E(a',b') se vuelven isomorfas sobre una extensión separable de$k$si tienen lo mismo$j$-invariante (Prueba de (c) del Teorema 2.1, M p51). De hecho, E(0,b) y E(0,b') se vuelven isomorfos sobre el campo obtenido al unir una raíz sexta de b/b' y E(a,b) y E(a',b') se vuelven isomorfos sobre el campo obtenido al unir una raíz cuarta de a/a' y una raíz cuadrada de -1. Si evita 2 y 3, todo funciona como en la característica cero, excepto que reemplaza el cierre algebraico de$k$con el cierre separable.

En la característica 2 y 3 hay que trabajar con ecuaciones más complicadas y no sé si dos curvas con la misma$j$invariante se vuelve isomorfo sobre una extensión separable del campo base.

Puede encontrar todo esto en los libros de Milne o Silverman sobre Elliptic Curves. Por ejemplo, la definición del invariante j de una curva elíptica en forma general de Weierstrass se puede encontrar en M p53.

M= primera edición del libro de Milne, disponible en su página web (bajo Libros).

El papel

Michael Szydlo, Fibras elípticas sobre campos de residuos no perfectos, J. Number Theory 104 (2004), no. 1, 75-99 (MR2021627)

es un estudio detallado de los posibles tipos de reducción de curvas elípticas sobre campos no perfectos.