¿Por qué Resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas da raíces adicionales?

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¿Por qué Resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas da raíces adicionales?

cuadráticas
Matemáticas
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sistemas de ecuaciones

Dheeraj Gujrathi

Considere estos sistemas de ecuaciones

\begin{aligned} {\begin{cases} X^{2} + 4 X + 4 = 0 \\ X^{2} + 5 X + 6 = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{cases} x^2+4x+4=0\\\\ x^2+5x+6=0 \end{cases} \end{align*}$

Para resolverlos tenemos

Método 1-

Resta ambas ecuaciones

Entonces $-x-2=0$

Por eso, $x=-2$

Método-2

Suma ambas ecuaciones

$2x^2+9x+10=0$

Después de aplicar la fórmula cuadrática, obtenemos

$x=-2$ o $x=-5/2$ . Pero sólo $x=-2$ satisface el sistema de ecuaciones.

Porque es el $-5/2$ no satisfaciendo el sistema de ecuaciones, ¿cuál es la intuición detrás del error en el método 2?

Sarvesh Ravichandran Iyer

Editado para corregir MathJax, consulte las correcciones y adapte en el futuro, simplemente se ha perdido algo bastante pequeño para ser justos. Sobre tu pregunta: Si

a

$a$ es una raiz de

p (x)

$p(x)$ y

q (x)

$q(x)$ entonces es una raiz de

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ ,

(p + q) (x)

$(p+q)(x)$ etcétera. Pero estos polinomios podrían tener otras raíces, que no tienen nada que ver con

p

$p$ o

q

$q$ .

dxiv

Ambos métodos son implicaciones unidireccionales que no son reversibles. El método 1, por ejemplo, significa que si existe una raíz común, entonces debe ser

x = - 2

$x=-2$ , pero no prueba que

x = - 2

$x=-2$ es de hecho una raíz. Intenta aplicar el método 1 al sistema.

x + 3 = 0, 2 x + 1 = 0

$x+3=0, 2x+1=0$ Por ejemplo.

Raimundo Manzoni

Ambos métodos están bien, pero para obtener una equivalencia, debe mantener una de las ecuaciones iniciales u otra composición de estas (¡mantener la diferencia y la suma está bien ya que podría recomponer ambas ecuaciones iniciales!)

Dheeraj Gujrathi

@Teresa Lisbon, lo que realmente sucede con p(x) y q(x), cuando se elimina el término x² de ambas ecuaciones y se obtiene la ecuación lineal, ¿por qué no obtenemos 2 resultados de aquí? La ecuación solo puede tener una solución, pero ¿adónde se fue esa raíz extra?

Dheeraj Gujrathi

@dxiv, ¿puede explicar qué significa implicación unidireccional? ¿No es este método de eliminación de gauss o manejo del sistema de ecuaciones siempre correcto? Corríjame si lo entiendo mal.

Sarvesh Ravichandran Iyer

@DheerajGujrathi Cuando actúas

p (x) - q (x)

$p(x)-q(x)$ , es cierto que SI

a

$a$ es una raíz común de

p (x)

$p(x)$ y

q (x)

$q(x)$ , entonces también es raíz de

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ , y de

(p + q) (x)

$(p+q)(x)$ , y de

(2 p + 3 q) (x)

$(2p+3q)(x)$ etcétera. Pero lo contrario no es cierto: si ahora tomo alguna raíz de

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ , no es necesario que haya sido una raíz común de

p (x)

$p(x)$ y

q (x)

$q(x)$ . ¿Cuál es la razón? Bueno, piensa en los números:

1

$1$ no es múltiplo de

3

$3$ y

2

$2$ no es múltiplo de

3

$3$ , pero

1 + 2 = 3

$1+2 = 3$ es múltiplo de

3

$3$ . Entonces

1 + 2

$1+2$ , o

1 - 2

$1-2$ , solo puede compartir alguna propiedad multiplicativa que ambos

1

$1$ y

2

$2$ compartir comúnmente

Sarvesh Ravichandran Iyer

La razón por la que esto es válido para los números es porque si

a

$a$ y

b

$b$ son dos números, entonces todo lo que podemos decir acerca de los divisores de

a + b

$a+b$ seguro es que SI

a, b

$a,b$ comparten un divisor, entonces este número también es un divisor de

a + b

$a+b$ . PERO no podemos discutir los factores de

a + b

$a+b$ que tampoco vienen

a

$a$ o

b

$b$ (para hacer esto, uno tendrá que discutir los restos, lo cual está fuera del presente contexto).

Dheeraj Gujrathi

@TeresaLisbon, ¿ese comentario pretendía decir que considere los ejemplos 4 y 2, comparten el factor común 2, por lo que 2 también dividirá 4+2, es decir, 2 también dividirá 2 (2+1)? Corríjame si no lo estoy manejando. forma en que dijiste

Sarvesh Ravichandran Iyer

@DheerajGujrathi Exactamente: pero no se puede predecir, por ejemplo, que

4 + 2

$4+2$ es múltiplo de

3

$3$ , sin dividir

4

$4$ por

2

$2$ , y luego

2

$2$ por

2

$2$ , y luego proceder a sumarlas y comprobar que es múltiplo de

3

$3$ (o tomando el resto cuando

4

$4$ se divide por

3

$3$ , el resto cuando

2

$2$ se divide por

3

$3$ , y sumarlos). En otras palabras, hasta que no investigues más, no sabrás que

3

$3$ tiene algo que ver con multiplicativo

4 + 2

$4+2$ .

dxiv

@DheerajGujrathi Una implicación unidireccional es de la forma

A ⟹ B

$A \implies B$ , a diferencia de una equivalencia

A ⟺ B

$A \iff B$ . Nuevamente, intente aplicar su(s) método(s) al sistema más simple

x + 3 = 0, 2 x + 1 = 0

$x+3=0, 2x+1=0$ y se hará evidente dónde está el problema. Puedes restar las ecuaciones y obtener

- x + 2 = 0

$-x+2=0$ , pero esto no significa que haya encontrado la solución

x = 2

$x=2$ . Lo que significa es que reduciste el sistema a otro sistema de dos ecuaciones.

x + 3 = 0, - x + 2 = 0

$x+3=0, -x+2=0$ (que pasa a no tener soluciones).

Dheeraj Gujrathi

@dxiv, muchas gracias, sinceramente, estaba confundido con respecto a los sistemas, ahora lo sé, cada vez que formamos nuevas ecuaciones a partir de una anterior, no podemos considerar la única nueva ecuación derivada para obtener la respuesta, por lo tanto, todas las ecuaciones derivada también debe satisfacer, y para estas preguntas, parece muy intuitivo si tomamos la solución común de x+2=0 y 2x^2+9x+10=0, gracias, y también, ¿es correcto? La implicación de una vía significa que "si a implica b entonces b no necesariamente implica a"?

Respuestas (4)

¿Por qué Resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas da raíces adicionales?

Editado para corregir MathJax, consulte las correcciones y adapte en el futuro, simplemente se ha perdido algo bastante pequeño para ser justos. Sobre tu pregunta: Si $a$ es una raiz de $p(x)$ y $q(x)$ entonces es una raiz de $(p-q)(x)$ , $(p+q)(x)$ etcétera. Pero estos polinomios podrían tener otras raíces, que no tienen nada que ver con $p$ o $q$ .
Ambos métodos son implicaciones unidireccionales que no son reversibles. El método 1, por ejemplo, significa que si existe una raíz común, entonces debe ser $x=-2$ , pero no prueba que $x=-2$ es de hecho una raíz. Intenta aplicar el método 1 al sistema. $x+3=0, 2x+1=0$ Por ejemplo.
Ambos métodos están bien, pero para obtener una equivalencia, debe mantener una de las ecuaciones iniciales u otra composición de estas (¡mantener la diferencia y la suma está bien ya que podría recomponer ambas ecuaciones iniciales!)
@Teresa Lisbon, lo que realmente sucede con p(x) y q(x), cuando se elimina el término x² de ambas ecuaciones y se obtiene la ecuación lineal, ¿por qué no obtenemos 2 resultados de aquí? La ecuación solo puede tener una solución, pero ¿adónde se fue esa raíz extra?
@dxiv, ¿puede explicar qué significa implicación unidireccional? ¿No es este método de eliminación de gauss o manejo del sistema de ecuaciones siempre correcto? Corríjame si lo entiendo mal.
@DheerajGujrathi Cuando actúas $p(x)-q(x)$ , es cierto que SI $a$ es una raíz común de $p(x)$ y $q(x)$ , entonces también es raíz de $(p-q)(x)$ , y de $(p+q)(x)$ , y de $(2p+3q)(x)$ etcétera. Pero lo contrario no es cierto: si ahora tomo alguna raíz de $(p-q)(x)$ , no es necesario que haya sido una raíz común de $p(x)$ y $q(x)$ . ¿Cuál es la razón? Bueno, piensa en los números: $1$ no es múltiplo de $3$ y $2$ no es múltiplo de $3$ , pero $1+2 = 3$ es múltiplo de $3$ . Entonces $1+2$ , o $1-2$ , solo puede compartir alguna propiedad multiplicativa que ambos $1$ y $2$ compartir comúnmente
La razón por la que esto es válido para los números es porque si $a$ y $b$ son dos números, entonces todo lo que podemos decir acerca de los divisores de $a+b$ seguro es que SI $a,b$ comparten un divisor, entonces este número también es un divisor de $a+b$ . PERO no podemos discutir los factores de $a+b$ que tampoco vienen $a$ o $b$ (para hacer esto, uno tendrá que discutir los restos, lo cual está fuera del presente contexto).
@TeresaLisbon, ¿ese comentario pretendía decir que considere los ejemplos 4 y 2, comparten el factor común 2, por lo que 2 también dividirá 4+2, es decir, 2 también dividirá 2 (2+1)? Corríjame si no lo estoy manejando. forma en que dijiste
@DheerajGujrathi Exactamente: pero no se puede predecir, por ejemplo, que $4+2$ es múltiplo de $3$ , sin dividir $4$ por $2$ , y luego $2$ por $2$ , y luego proceder a sumarlas y comprobar que es múltiplo de $3$ (o tomando el resto cuando $4$ se divide por $3$ , el resto cuando $2$ se divide por $3$ , y sumarlos). En otras palabras, hasta que no investigues más, no sabrás que $3$ tiene algo que ver con multiplicativo $4+2$ .
@DheerajGujrathi Una implicación unidireccional es de la forma $A \implies B$ , a diferencia de una equivalencia $A \iff B$ . Nuevamente, intente aplicar su(s) método(s) al sistema más simple $x+3=0, 2x+1=0$ y se hará evidente dónde está el problema. Puedes restar las ecuaciones y obtener $-x+2=0$ , pero esto no significa que haya encontrado la solución $x=2$ . Lo que significa es que reduciste el sistema a otro sistema de dos ecuaciones. $x+3=0, -x+2=0$ (que pasa a no tener soluciones).
@dxiv, muchas gracias, sinceramente, estaba confundido con respecto a los sistemas, ahora lo sé, cada vez que formamos nuevas ecuaciones a partir de una anterior, no podemos considerar la única nueva ecuación derivada para obtener la respuesta, por lo tanto, todas las ecuaciones derivada también debe satisfacer, y para estas preguntas, parece muy intuitivo si tomamos la solución común de x+2=0 y 2x^2+9x+10=0, gracias, y también, ¿es correcto? La implicación de una vía significa que "si a implica b entonces b no necesariamente implica a"?

usuario0102 · Answer 1

PISTA

Puedes factorizar ambos polinomios según tu método preferido para obtener:

\begin{aligned} {\begin{cases} X^{2} + 4 X + 4 = 0 \\ X^{2} + 5 X + 6 = 0 \end{cases} ⟺ {\begin{cases} (X + 2)^{2} = 0 \\ (X + 2) (X + 3) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{cases} x^{2} + 4x + 4 = 0\\\\ x^{2} + 5x + 6 = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x+2)^{2} = 0\\\\ (x+2)(x+3) = 0 \end{cases} \end{align*}$

¿Puedes tomarlo desde aquí?

,sí,puedo,gracias,pero una pregunta más,¿y si en lugar de 4x se escribiera ax,y nos dijeran que encontráramos uno tal que ambos polinomios comparten un factor común?¿No podemos factorizarlos?
Si tuviera un parámetro desconocido $a$ , podría resolver la ecuación cuadrática correspondiente y comparar las raíces con las relacionadas con la segunda ecuación. De esta manera, usted podría encontrar su valor.

pollomante · Answer 2

Para responder a su pregunta de título:

¿Por qué Resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas da raíces adicionales?

Esto se debe a que cualquier ecuación cuadrática puede tener como máximo dos soluciones, por lo que un sistema de ecuaciones cuadráticas puede tener como máximo dos soluciones en común entre las dos ecuaciones cuadráticas.

Específicamente, tiene dos ecuaciones cuadráticas y comparten una solución, hasta la multiplicidad, por lo que tiene 3 raíces extrañas.

Si tienen más de una solución en común, necesariamente serán múltiplos escalares entre sí.

usuario876009 · Answer 3

$x^2+4x+4=0 \implies (x+2)^2=0$ Del mismo modo, factorice el otro polinomio y vea qué valor de $x$ es común en ellos

Para otra parte de la pregunta, su método no dio la respuesta correcta porque debe recordar $(a-b)x,(a+b)x$ puede tener raíces distintas de $a$ y $b$

boojum · Answer 4

También podríamos describir la diferencia en sus dos enfoques de esta manera. Empezaste con el sistema $\ p(x) \ = \ x^2 + 4x + 4 \ = \ 0 \ , \ q(x) \ = \ x^2 + 5x + 6 \ = \ 0 \ \ .$ Cuando restas una ecuación de la otra, tienes $\ p(x) - q(x) \ = \ 0 \ \ ,$ que es equivalente a la ecuación que estableceríamos para encontrar las intersecciones de las curvas representadas por estas funciones, $\ p(x) \ = \ q(x) \ \ .$ Encontraste la única solución. $\ x \ = \ -2 \ \$ de $\ -x - 2 \ = \ 0 \ \ ,$ cual es correcta. Ocurre para este sistema que este también ubica un factor común de $\ p(x) \$ y $\ q(x) \$ porque ambas funciones son iguales a cero en $\ x \ = \ -2 \ \ ,$ pero este método sería correcto en cualquier caso (como mostraremos en breve para un sistema diferente).

Cuando sumas las dos ecuaciones, como hiciste en tu segundo cálculo, ahora estás resolviendo $\ p(x) + q(x) \ = \ 0 \ \rightarrow \ p(x) \ = \ -q(x) \ \ ,$ que ya no es el problema original. Aquí, realmente es solo porque ambos $\ p(x) \$ y $\ q(x) \$ son iguales a cero en $\ x \ = \ -2 \$ que esto aparece como una solución a $\ 2x^2 + 9x + 10 \ = \ (2x + 5 )·(x + 2) \ = \ 0 \ \ ,$ desde $\ (x + 2)·(x + 2) \ + \ (x + 2)·(x + 3)$ $= \ (x + 2)·[ \ (x + 2) + (x + 3) \ ] \ \ .$ Es posible que otros sistemas no produzcan ninguna solución al sumar las ecuaciones.

Si tomamos, por ejemplo, el sistema $\ p(x) \ = \ x^2 - 5x + 6 \ = \ ( x - 2)·(x - 3) \ = \ 0 \ ,$ $q(x) \ = \ x^2 + 7x + 10 \ = \ (x + 2)·(x + 5) \ = 0 \ \ ,$ los dos polinomios no tienen factores en común, pero seguramente deben intersecarse ya que ambos "se abren hacia arriba". Encontramos $\ p(x) \ = \ q(x)$ $\Rightarrow \ p(x) - q(x) \ = \ -12x - 4 \ = \ 0 \ \Rightarrow \ x \ = \ -\frac13 \ \ ,$ una solución que no es sugerida inmediatamente por ninguno de los factores polinómicos. [De hecho, podríamos haber elegido dos parábolas de "apertura hacia arriba" representadas por polinomios que no pueden factorizarse usando números reales y aún podrían encontrar la(s) intersección(es).]

Por otro lado, $\ p(x) + q(x) \ = \ 2x^2 + 2x + 16 \ \$ no tiene ceros reales (o $\ p(x) \ = \ -q(x) \$ no tiene soluciones con números reales); vemos que las curvas de la función no se cortan. Por lo tanto, sumar las ecuaciones en este sistema no proporciona información sobre las soluciones del sistema de ecuaciones original.

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