Condición para que las raíces de la cuarta sean reales y dos sean coincidentes

Dejar$f(x)=x^2-2mx-4(m^2+1),g(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)$.

También, deja$c\in\mathbb R$Sea la raíz doble de$f(x)g(x)$.

Tenemos tres casos a considerar:

Caso 1 :$x=c$es una raiz doble de$f(x)$

Caso 2:$x=c$es una raiz doble de$g(x)$

Caso 3:$f(c)=g(c)=0$

• Caso 1: Si$x=c$es una raiz doble de$f(x)$, entonces tenemos que tener$(-2m)^2-4\times 1\times (-4(m^2+1))=0$, pero no hay tales$m\in\mathbb R$.

• Caso 2: Si$x=c$es una raiz doble de$g(x)$, luego resolviendo$(-4)^2-4\times 1\times (-2m(m^2+1))=0$da$m=-1$. Entonces nosotros tenemos$f(x)=(x+4)(x-2),g(x)=(x-2)^2$que no satisfacen nuestra condición.

• Caso 3: Si$f(c)=g(c)=0$, luego de$0=f(c)-g(c)=-2(m-2)(c-m^2-1)$, tenemos$m=2$o$c=m^2+1$. Si$m=2$, entonces$f(x)=g(x)$que no satisfacen nuestra condición. Si$c=m^2+1$, luego por las fórmulas de Vieta ,$x=-4$es una raiz de$f(x)$, entonces$f(-4)=0\implies m=-1,3$. eso ya lo vemos$m\not=-1$. Si$m=3$, entonces nosotros tenemos$f(x)=(x-10)(x+4),g(x)=(x-10)(x+6)$que satisfacen nuestra condición.

Por lo tanto, la respuesta es$\color{red}{m=3}$.