Evitar soluciones extrañas

Al resolver ecuaciones cuadráticas como X + 1 + X − 1 = 2 X + 1 se nos dice que resolvamos ingenuamente, por ejemplo obtendríamos X ∈ { − 5 2 , 5 2 } , aunque la primera solución no funcione, y luego pruebe todas las soluciones y elimine las extrañas. ¡Este no es un algoritmo muy elegante! ¿Cómo se usaría el hecho de que X 2 = | X | para evitar tener que comprobar las respuestas?

¿Realmente considera que los métodos que resuelven ecuaciones de valor absoluto son más elegantes que probar soluciones extrañas?
Pensé que tal vez había una forma elegante de hacerlo sin verificar las soluciones.
Hay muchas preguntas aquí en MathSE sobre cómo resolver ecuaciones de valor absoluto. Estos pueden ser bastante complicados de resolver y, por lo general, implican verificar múltiples posibilidades. Personalmente, considero que la verificación de soluciones extrañas es más fácil de entender y hacer.
¿Por qué no comprobar es elegante? de hecho, solo tiene fe en que cualquiera que sea el método que aplicó es correcto. No hay razón para no verificar las respuestas por error. debe ser parte de la resolución de problemas.

Respuestas (2)

Si te aseguras de que

{ X + 1 ≥ 0 X − 1 ≥ 0 2 X + 1 ≥ 0
entonces puedes elevar al cuadrado ambos lados, porque está garantizado que existen y, cuando a , b ≥ 0 , a = b si y solo si a 2 = b 2 .

Las condiciones anteriores son equivalentes a X ≥ 1 .

Cuadrando obtenemos

X + 1 + 2 X 2 − 1 + X − 1 = 2 X + 1
que simplifica a
2 X 2 − 1 = 1
y puedes cuadrar de nuevo, porque ambos lados no son negativos. Esto da
4 X 2 = 5.
Ya que sabes que X ≥ 1 , la única solución es
X = 5 2 .

Entonces, en general, simplemente calcularía el dominio de la ecuación original y lo aplicaría a mi conjunto de soluciones.
@RenéG Debe tener cuidado también en los pasajes intermedios antes de cuadrar, porque un lado puede ser negativo.
@RenéG Su corrección propuesta es incorrecta: X 2 − 1 se define (porque X ≥ 1 ) y no negativo por definición.
Entonces, ¿qué quisiste decir con "puedes cuadrar de nuevo, porque ambos lados no son negativos"?
@RenéG Lo mismo de antes: cuando a , b ≥ 0 , la igualdad a = b es lo mismo que a 2 = b 2 (no agrega soluciones extrañas, en otras palabras).
Eso también es cierto para a , b ≤ 0 . Y desde a = b tienen que ser ambos negativos, ambos positivos o ambos cero. Entonces, ¿por qué hacer esa nota?
@RenéG Lo dijiste: debes asegurarte de que ambos lados tengan el mismo signo, antes de cuadrar. Claro que también hay que definirlos, pero en la segunda cuadratura que ya se concedió, porque X 2 − 1 es el producto de dos términos que ya sabemos que existen.

Intenta cuadrar ambos lados.

X + 1 + X − 1 = 2 X + 1 ⇔
⇔ ( X + 1 + X − 1 ) 2 = ( 2 X + 1 ) 2 ⇔
⇔ ( X + 1 ) 2 + 2 X + 1 X − 1 + ( X − 1 ) 2 = 2 X + 1
⇔ ( X + 1 ) + 2 ( X + 1 ) ( X − 1 ) + ( X − 1 ) = 2 X + 1 ⇔
⇔ ( X + 1 ) ( X − 1 ) = 1 2 ⇔
⇔ ( X + 1 ) ( X − 1 ) = 1 4 ⇔
⇔ X 2 − 1 − 1 4 = 0 ⇔
⇔ X 2 − 5 4 = 0

Y ahora solo puedes usar la fórmula cuadrática.

X = − ( 0 ) ± ( 0 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 5 4 ) 2 ( 1 ) ⇔
⇔ X = ± 4 × 5 4 2 ⇔
⇔ X = ± 5 2

También, − 5 2 no está incluido en la solución final, intente ver por qué...

Espero haber ayudado. Saclyr.

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