¿Cómo se decide qué desigualdad/ecuación se debe resolver, entre muchas, para obtener el conjunto de soluciones sin soluciones extrañas?

Question

¿Cómo se decide qué desigualdad/ecuación se debe resolver, entre muchas, para obtener el conjunto de soluciones sin soluciones extrañas?

desigualdad
cuadráticas
Matemáticas
álgebra-precálculo

Osmio

Antecedentes: Este problema es de mi libro de texto: Let $x^{2}-(m-3) x+m=0 (m \in R)$ Sea una ecuación cuadrática. Encuentre los valores de $m$ por lo que al menos una raíz se encuentra en $(1,\ 2).$

La solución también a este problema dada en el libro es así:

Caso I: Exactamente una raíz está en $(1,\ 2)$ . Entonces,

F (1) F (2) < 0 \Rightarrow metro > 10

$f(1) f(2)<0 \Rightarrow m>10$

Caso II: Ambas raíces se encuentran en el intervalo $(1,\ 2)$ . Entonces, $D \geq 0 \Rightarrow(m-1)(m-9) \geq 0$

\Rightarrow metro \leq 1 o metro \geq 9.

$\Rightarrow \quad m \leq 1 \text{ or } m \geq 9.$

also f (1) > 0

$\text{also } f(1)>0$ y

f (2) > 0

$f(2)>0$

\Rightarrow 10 > metro

$\Rightarrow 10>m$

and 1 < - \frac{b}{2 a} < 2

$\text{and }1<-\frac{b}{2 a}<2$

\Rightarrow 5 < metro < 7

$\Rightarrow 5<m<7$ Por lo tanto, no hay tal

m

$m$ existe

Por eso, $m \in(10, \infty)$ .

Pregunta: Pero, ¿cómo decidió el autor qué "propiedades" usar para resolver tales problemas? En el caso I, exactamente una raíz se encuentra en (1, \ 2), por lo que las siguientes son las propiedades que se satisfacen con dicha cuadrática:

El vértice de la cuadrática es mayor que $1$ pero menos que $2$ .
y la suma y los productos de las raíces serán positivos, es decir, let.
y la gráfica de la cuadrática es cóncava hacia arriba.
y $f(1)f(2)\lt 0$
y $af(2)\gt 0$
y $af(1)\gt 0$

y así sucesivamente... pero el autor eligió la última tercera propiedad, ¿por qué? Seguramente obtendremos muchas otras desigualdades y ecuaciones, luego de "matematizar" esas propiedades, involucrando el término " $m$ ", ¿no deberíamos resolver todas las desigualdades y ecuaciones para obtener la solución? Al final, podría existir la posibilidad de que otras ecuaciones/desigualdades pudieran haber "limitado" el conjunto de valores posibles de $m$ , es decir, podemos obtener soluciones extrañas al problema.

[ Tenga en cuenta la palabra "y" , todas estas propiedades se cumplen, así que suponga que después de resolver, digamos la primera propiedad, obtenemos algo como $m\lt 0$ , entonces tendremos que tomar intersección de este conjunto y $m \in(10, \infty)$ . ]

De manera similar, también puedo enumerar muchas propiedades para los segundos casos y nuevamente el mismo problema.

Entonces, ¿por qué el autor está tan seguro de que resolver esa desigualdad específica le dará un conjunto de soluciones sin soluciones extrañas? De hecho, lo hizo bien . Seguramente debe haber una manera de saber que después de resolver una ecuación/desigualdad específica que se genera a partir de cierta propiedad lo llevará a un conjunto de soluciones sin soluciones extrañas.

Osmio

@Ryan G Sí, lo sé, pero mi punto era ¿por qué el autor solo lo resolvió y aún así obtuvo la respuesta correcta?

boojum

Mismo polinomio, pregunta relacionada: math.stackexchange.com/questions/4176361/…

Respuestas (2)

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@Ryan G Sí, lo sé, pero mi punto era ¿por qué el autor solo lo resolvió y aún así obtuvo la respuesta correcta?
Mismo polinomio, pregunta relacionada: math.stackexchange.com/questions/4176361/…

usuario765629 · Answer 1

Has demostrado que "existe una raíz en $(1,2)$ " $\implies m > 10$ . Pero esto aún no es una equivalencia, como usted dice, podrían introducirse soluciones extrañas. Sin embargo, tenga en cuenta que el inverso es simple. Tenemos: $m>10 \implies f(1)f(2) < 0 \implies$ "existe una raíz en $(1,2)$ ".

Sí, pero no entiendo muy bien cómo eso explica qué desigualdad/ecuación se debe seleccionar.
No importa qué método seleccione, siempre y cuando produzca la respuesta. Se ha demostrado que "existe una raíz en $(0,1)$ " es equivalente a $m>10$ . Si puede usar otro método para obtener el resultado, hágalo.
Entonces, ¿tengo razón al entender que no podemos decidir qué ecuación/desigualdad debemos resolver primero, pero si obtenemos una solución que implica inversamente la condición de nuestras preguntas, entonces no hay necesidad de resolver otra ecuación/ieq?
@IDKWTD: no existe un procedimiento determinista mediante el cual pueda descubrir cómo resolver una ecuación o desigualdad. Por ejemplo, suponga que desea encontrar todos los valores reales. $x > 0$ tal que $x^x+x^2+1 = 3x$ . No hay una manera obvia de hacerlo. Pero graficarlo rápidamente sugiere que la expresión es cero en $x = 1$ y positivo en otros lugares, por lo que sugiere que demostremos que es convexa y tiene derivada cero en $x = 1$ .

ryang · Answer 2

Para el caso I , el autor podría haber sido más claro y haber escrito

exactamente una raíz se encuentra en $(1, 2) \iff f(1) f(2)<0 \iff m>10$

en lugar de

exactamente una raíz se encuentra en $(1, 2) \implies f(1) f(2)<0 \implies m>10.$

Tiene razón en que, estrictamente hablando, la declaración (2) simplemente muestra una solución candidata $\{m\in\mathbb R\mid m>10\},$ del cual la solución real es un subconjunto. Por otro lado, la afirmación (1) asegura al lector que “ $m>10$ ” y “exactamente una raíz está en $(1, 2)$ son, en efecto, enunciados equivalentes y, como tales, $\{m\in\mathbb R\mid m>10\}$ es el conjunto de soluciones real sin ninguna porción extraña.

Es válido escribir el enunciado (1) en lugar del enunciado más débil (2), porque observamos que tanto el enunciado (2) como su recíproco son verdaderos, ya que la cadena de razonamiento es correcta tanto en el sentido directo como en el inverso.

Caso II

ambas raíces (distintas o repetidas) se encuentran en $(1,2)\implies$ [El discriminante no negativo y el eje de simetría se encuentran en $(1,2)]\implies [D\geq0\;$ y $\;1<-\frac{b}{2a}<2] \implies m$ no tiene valor posible

El autor es muy malo. ¿Tiene alguna recomendación para algún libro que incluya temas como el teorema de Rolles, la ubicación de las raíces, la naturaleza de las raíces, las desigualdades?
Gracias, encontré este libro de Hung-Hsi Wu, su libro es muy riguroso y explica todo muy bien a diferencia de mi libro actual. Gracias de nuevo.
Una última pregunta; si me pidieran mostrar que una ecuación cuadrática tiene ambas raíces entre dos números, digamos $k_1$ y $k_2$ , entonces solo necesito mostrar que $D\geq 0$ y $k_1\lt \frac{-b}{2a}\lt k_2$ ? Mi libro también menciona que $af(k_1)\lt 0$ y $af(k_2)\lt 0$ también son necesarios.
@IDKWTD Sí, así es: acabo de ampliar mi respuesta de acuerdo con su sugerencia. (Dicho sea de paso, para el caso II, $“\iff”$ es innecesario ya que no hay una solución extraña de la que preocuparse).

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Osmio

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usuario765629

Osmio

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ryang

Osmio

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ryang

Osmio

ryang

Rango de xxx para el cual la desigualdad del módulo será válida: |x2−2x−8|>2x|x2−2x−8|>2x|x^2-2x-8| > 2x: necesita aclaración sobre el conjunto de soluciones

Encuentre el parámetro de la ecuación cuadrática tal que sea positivo/negativo en un rango

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