¿Cómo verificar las raíces de un polinomio de un cierto número establecido en cierto rango?

Los pasos para determinar la naturaleza de las raíces (sin contar las multiplicidades) de un polinomio$\,P\,$en el intervalo$\,I\,$seria lo siguiente.

• Compruebe si hay varias raíces calculando$\,D = \gcd(P,P')\,$utilizando el algoritmo de Euclides . Si$\,\deg D \gt 0\,$dividir por el factor común$\,P_1 = P / D\,$, entonces$\,P_1\,$tendrá las mismas raíces que$\,P\,$pero cada uno de ellos con multiplicidad$\,1\,$es decir$\,P_1\,$será la parte libre cuadrada de$\,P\,$. Este paso puede reducir potencialmente el grado de$\,P\,$lo que simplifica los cálculos posteriores.

• Use el teorema de Sturm para determinar el número$\,N_{\mathbb R}\,$de verdaderas raíces en$\,I\,$.

• Según el teorema de la raíz racional, solo hay un número finito de raíces racionales potenciales. Calcule el valor del polinomio para cada fracción candidata que cae en el intervalo$\,I\,$(con el numerador dividiendo el término constante y el denominador dividiendo el coeficiente principal) y determine el número$\,N_{\mathbb Q}\,$de raíces racionales. Los que tienen denominador$\,1\,$son las raíces enteras, digamos$\,N_{\mathbb Z} \le N_{\mathbb Q}\,$de ellos, y los que son también positivos son las raíces naturales$\,N_{\mathbb N}\,$.

• Las raíces irracionales en$\,I\,$son aquellas que son reales pero no racionales, por lo que$\,N_{\overline{\mathbb Q}}= N_{\mathbb R} - N_{\mathbb Q}\,$.

Las relaciones obvias se mantienen$\,N_{\mathbb N} \le N_{\mathbb Z}\le N_{\mathbb Q}\le N_{\mathbb R} = N_{\mathbb Q} + N_{\overline{\mathbb Q}} \le \deg P_1 \le \deg P\,$.

El número total de raíces (contando multiplicidades) de$\,P\,$en$\,\mathbb C\,$es$\,N^* = \deg P\,$por el teorema fundamental del álgebra . El número de raíces reales.$\,N_{\mathbb R}^*\,$(multiplicidades de conteo) se puede determinar usando el teorema de Sturm con$\,I \equiv \mathbb R\,$, aplicado a la sucesión finita de polinomios libres de cuadrados$\,P_k\,$con$\,\deg P_k \gt 0\,$definido por$\,D_1 = \gcd(P, P')\,$,$\,P_1 = P / D_1\,$,$\,D_2=\gcd(D_1, D_1')\,$,$\,P_2 = D_1 / D_2\,$,$\,\dots\,$y sumando los conteos, entonces el número de raíces complejas no reales (contando multiplicidades) es$\,N_{\mathbb C \setminus \mathbb R}^*=N^* - N_{\mathbb R}^*\,$.