¿Puedo usar siempre el inverso de una función para encontrar su rango?

Durante mucho tiempo usé el Dominio de la inversa de una función para encontrar el rango de la función original. Esa es una pequeña estrategia que uso. Recientemente me encontré con un ejemplo en el que eso no parece aplicarse.

La función que encontré es

F ( X ) = 1 + 2 + 3 X

y es inverso

F − 1 ( X ) = ( X − 1 ) 2 − 2 3

Si solo observa la inversa, está tentado a decir que el rango de la función original F son todos números reales, y ese no es el caso. Lo sabemos

D F : X ≥ − 2 3
R F : y ≥ 1

Entonces mi pregunta es: ¿cuándo no puedo usar esa estrategia?

Una función inversa debe ser inyectiva en su dominio. Su función no está en IR. Otro ejemplo es simplemente tomar la raíz de x. Su inversa es x ^ 2, que también se puede definir en IR, pero no como la inversa.

Respuestas (1)

Siempre puedes usar esta estrategia. El problema es que la función

gramo ( X ) = ( X − 1 ) 2 − 2 3
no es un inverso de F (no para todos X ). A la hora de calcularlo se debe proceder de la siguiente manera:

y = 1 + 2 + 3 X
y − 1 = 2 + 3 X

Pero ahora ⋅ es no negativo, por lo que es y − 1 entonces y ⩾ 1 . Entonces

2 + 3 X = ( y − 1 ) 2
X = ( y − 1 ) 2 − 2 3 proporcionó  y ⩾ 1

Veo lo que quieres decir, gracias por aclararme eso. ¡Salud!
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