Raíces de una suma

Question

Raíces de una suma

raíces
suma
Matemáticas
teorema del binomio
álgebra-precálculo

Kevin

Estoy tratando de resolver una ecuación:

\sum_{norte = 0}^{b} ((\frac{a + X norte}{b}) (\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) = 0

$\sum_{n=0}^b \left(\left(\frac{a+xn}{b}\right)\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right)=0$ Donde a y b son constantes. Pensé en resolverlo usando el teorema del binomio. Como puedes ver, la ecuación es muy similar a la expansión binomial:

\sum_{norte = 0}^{b} ((\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) = (1 - X)^{b}

$\sum_{n=0}^b \left(\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right)=(1-x)^b$ Me preguntaba si había una manera de separar de alguna manera el

(\frac{a + x n}{b})

$\left(\frac{a+xn}{b}\right)$ de la suma para resolver la ecuación.

amante de las matemáticas

Qué tal si

\sum_{norte = 0}^{b} (\frac{a}{b} (\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) + \sum_{norte = 0}^{b} (\frac{norte X}{b} (\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) = 0

$\sum_{n=0}^b \left(\frac{a}{b}\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right) + \sum_{n=0}^b \left(\frac{nx}{b}\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right)=0$

achille hui

Pista:

(a + n x) (- x)^{n - b} = (a + b x + x^{2} \frac{\partial}{\partial x}) (- x)^{n - b}

$(a + nx)(-x)^{n-b} = (a+bx + x^2\frac{\partial}{\partial x})(-x)^{n-b}$

Respuestas (1)

Raíces de una suma

Qué tal si $\sum_{norte = 0}^{b} (\frac{a}{b} (\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) + \sum_{norte = 0}^{b} (\frac{norte X}{b} (\binom{b}{norte}) (- X)^{b - norte}) = 0$ $\sum_{n=0}^b \left(\frac{a}{b}\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right) + \sum_{n=0}^b \left(\frac{nx}{b}\binom{b}{n}(-x)^{b-n}\right)=0$
Pista: $(a + nx)(-x)^{n-b} = (a+bx + x^2\frac{\partial}{\partial x})(-x)^{n-b}$

Marty Cohen · Answer 1

Las dos sumas que necesitas son $f_b(x) =\sum_{n=0}^b \binom{n}{b}x^n$ y $g_b(x) =\sum_{n=0}^b n\binom{n}{b}x^n$ . Su suma se puede escribir en términos de estos.

Lo primero que debes saber del teorema del binomio.

Para el segundo,

$\begin{array}\\ f_b'(x) &=\sum_{n=0}^b \binom{n}{b}(x^n)'\\ &=\sum_{n=0}^b \binom{n}{b}nx^{n-1}\\ &=\frac1{x}\sum_{n=0}^b \binom{n}{b}nx^{n}\\ &=\frac1{x}g_b(x)\\ \end{array}$

entonces $g_b(x) =xf_b'(x)$

y esto te da $g$ .

Raíces de una suma

Kevin

amante de las matemáticas

achille hui

Respuestas (1)

Marty Cohen

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