¿Quién inventó la notación de Leibnitz d2ydx2d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} para la *segunda* derivada?

Leibniz utilizó esta notación, por ejemplo, en su artículo Supplementum geometriae practicae, Acta Eruditorum , abril de 1693, p. 179 ( enlace de Google Books ):

El símbolo del diferencial$dx$se debe a Leibniz.

Introdujo también diferenciales "iterados"; ver :

• HJM Bos, Diferenciales y diferenciales de orden superior en el cálculo leibniziano (1974), página 17:

Además, para introducir diferenciales de orden superior, los diferenciales de primer orden deben concebirse como variables que se extienden sobre una secuencia ordenada; si solo uno$dx$se considera,$ddx$No tiene sentido. La siguiente cita de Leibniz ["Monitum de characteribus algebraicis", 1710] ilustra esto:

Más,$ddx$es el elemento del elemento o la diferencia de las diferencias , por la cantidad$dx$sí mismo no es siempre constante, pero por lo general aumenta o disminuye continuamente.

Ver también The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (JM Child ed., 1920 - también reimpresión de Dover): manuscrito de una respuesta a Bernhard Nieuwentijt, página 144-on :

$dx, ddx, dv, ddv, dy, ddy \ldots$

Debemos señalar que Leibniz ha$xx$para$x^2$; ver página 151 :

Entonces, desde$y-xx : a \ldots$

La respuesta aceptada no deja dudas de que Leibniz fue el primero en escribir$d^2y/(dx)^2$para la segunda derivada. Pero dado que he encontrado tantas justificaciones engañosas para esta notación en línea , siento que se necesita decir algo más al respecto .

La mayoría de las justificaciones en los enlaces anteriores están en la línea de: "por manipulación formal" o "demasiado obviamente"

Para explicar déjame hacer una simple analogía primero. Nadie hoy en día afirmaría que lo siguiente es correcto

Análogamente, para Leibniz,$d$era un operador (podría no haberlo llamado así, pero sabía que actuaba sobre variables como$\log$) y conocía la regla del cociente para$d$. Así que podría haber aprobado la siguiente ecuación general

Esto se puede ver en el artículo de 1693 de Leibniz citado por @ViktorBlasjo, una línea arriba$ddx:\overline{dy}^2$, donde escribe

posita$dy$constante

También se puede encontrar en Eulers Institutiones Calculi Differentialis ( 1743 ) § 131.

Ahora procederemos bajo el supuesto de que$x$aumenta uniformemente, de modo que los primeros diferenciales$dx, dx^I , dx^{II},\ldots$son iguales entre sí, de modo que el segundo diferencial y el superior son iguales a cero. Podemos enunciar esta condición diciendo que el diferencial de$x$, eso es$dx$, se supone que es constante. Dejar$y$ser cualquier función de$x$; ...

Y se puede encontrar en el Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Lacroix ( 1797 ) p.96

Pour la simplifier nous observons que l'accroissement$dx$étant consideré invariable,$f'(x)dx$se cambia es$f'(x+dx)dx$...

Resumiendo: para Leibniz, Euler y otros la ecuación

Esto deja una pregunta para mí, que espero que alguien más pueda responder: cuándo y por qué los matemáticos olvidaron esta suposición adicional y simplemente adoptaron la notación$\frac{d^2}{dx^2}$por lo que en realidad debería escribirse como$\left(\frac{d}{dx}\right)^2$?

Creo$\frac{d^2y}{dx^2}$viene de multiplicar$\frac{dy}{dx}$por$\frac{d}{dx}$. En la Notación ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abuse_of_notation#Derivitive ) la multiplicación significa iteración.

(Descargo de responsabilidad: esta es una respuesta muy aproximada. Todavía no ha habido ninguna otra respuesta, buscaré la notación en un libro de texto).

$\frac{d^2}{dx^2}$ $y$=$\frac{d^2y}{dx^2}$está demasiado obviamente construido a partir de$\frac{d}{dx}$$\frac{d}{dx}$ $y$=$(\frac{d}{dx})^2$ $y$merecer más explicaciones.