¿Por qué falta el cálculo en los Principia de Newton?

Hay cuestiones demasiado separadas aquí. El método de fluxiones y fluentes, la versión del cálculo de Newton, está ampliamente representado en los artículos existentes de Newton, comenzando con 1669 On Analysis by Equations with an Infinite Number of Terms enviado como una carta a John Collins, y difundido por él a múltiples corresponsales, incluido Leibniz. La taquigrafía con puntos solo se inventó en 1691, después de la publicación de Principia (1687), y Newton publicó su descripción del cálculo en 1693. Antes de eso, sus métodos se conocían principalmente en Europa a partir de cartas enviadas a través de Collins y Oldenburg.

En cuanto a por qué no usó cálculo en Principia, la respuesta es controvertida. Para empezar, no está claro que el cálculo en su engorrosa forma original hubiera introducido mayor claridad o pruebas más cortas. En cambio, podría agravar la dificultad de comprender la nueva mecánica con la dificultad de comprender las nuevas matemáticas. También hay evidencia de que Newton elaboró ​​los Principia en la misma forma en que fueron escritos, euclidiana, en lugar de volver a traducirlos de una versión de cálculo, como afirmó más tarde. Whiteside da una discusión esclarecedora.

Aunque esta pregunta y las respuestas ahora tienen cierta antigüedad, sugiero que es importante no pasar por alto el carácter mítico de la suposición que subyace a esta pregunta. La pregunta supone explícitamente que 'el cálculo falta en los Principia '. Pero eso no es cierto: no falta, no solo habilidosos comentaristas de los siglos XVII al XXI han reconocido claramente el contenido del cálculo en la obra, sino que también se pueden señalar directamente muchos argumentos y demostraciones en la obra misma que definitivamente emplean principios pertenecientes al campo del cálculo.

Lo que está prácticamente ausente de los Principia es un asunto muy diferente: se trata principalmente de notación. En cuanto a esto, vale la pena tener en cuenta la evaluación del difunto Clifford Truesdell de que "... un matemático moderno, con poco respeto por aquellos que confunden notaciones con nociones, encuentra en los Principia un libro denso con la teoría y la aplicación de los infinitesimales " . cálculo." (Essays in the History of Mechanics, 1968, 99 (en n.4)).

Truesdell no estaba solo en su opinión. Publicado, por ejemplo, ya en 1696 estaba el libro "Analyse des infiniment petits" (Análisis infinitesimal) del marqués de l'Hospital (o l'Hôpital): se trataba de una exposición de la forma de cálculo diferencial de Leibniz. En su prefacio, después de los debidos elogios a Leibniz, se lee (traducido del francés): "... el crédito también se debe al erudito M. Neuwton, como al mismo M. Leibnis (en el Journal des Sçavans del 30 de agosto de 1694) ha reconocido: que él también" [ie Newton] "había encontrado algo similar al Cálculo diferencial, como aparece en el excelente libro titulado 'Philosophia naturalis principia Mathematica', que nos dio en 1687, del cual casi todo es de este cálculo ['lequel est presque tout de ce calcul']. "Sin embargo,

Pasando ahora a consideraciones matemáticas más detalladas, un estudio de Bruce Pourciau (2001), en Historia Mathematica 28, 18-30, investiga "la comprensión de Newton del concepto de límite a través del estudio de ciertas pruebas que aparecen en los Principia ". Pourciau encuentra "que Newton, no Cauchy, fue el primero en presentar un argumento épsilon, y que, en general, la comprensión de los límites por parte de Newton era más clara de lo que comúnmente se pensaba. Observamos la distinción de Newton entre dos propiedades que se confunden fácilmente, a saber, f/g -- > 1 y f - g --> 0, [y] resolvemos un problema creado por una traducción espuria que aparece en la revisión de Cajori de la traducción original de Motte, ...". Pourciau destaca especialmente tres Lemas importantes en los Principia, "Lema I sobre el límite de una diferencia [ sic , esto debe ser un desliz por 'razón' que aparece en el Lema 1], Lema II sobre la existencia de la integral, y Lema XI sobre la segunda derivada" y discute cómo " sus declaraciones y pruebas revelan más claramente la comprensión de Newton del proceso límite". Pero "para leer estos lemas", dice Pourciau, "se requiere una doble traducción, no solo una primera traducción del latín original al inglés (para lo cual nos basamos en [la traducción de 1999 de IB Cohen de los Principia]), sino una segunda traducción también, pues los lemas nos vienen empaquetados en los PrincipiaLa combinación única de geometría euclidiana y límites, una especie de cálculo geométrico, y no podemos resolver lo que realmente dicen los lemas sin desempaquetar un poco. Pero cualquier traducción perturba el significado, y debemos tener mucho cuidado para minimizar esa perturbación, para preservar en la medida de lo posible la intención original de Newton". , el contenido se encuentra, de hecho, expresado en una forma geométrica de cálculo infinitesimal, a menudo basado en límites de proporciones de pequeñas cantidades que se desvanecen.

También se debe ir directamente a la fuente sobre tal pregunta. Inmediatamente después de las Definiciones y leyes del movimiento de Newton, la primera sección de PrincipiaEl Libro 1 de 's tiene una serie de lemas sobre "el método de la primera y la última razón de cantidades, con la ayuda de la cual demostramos las proposiciones que siguen". Las proporciones 'primera' y 'última' se explican como los límites de las proporciones de cantidades que crecen desde cero ('nacientes') o decaen hasta cero ('evanescentes'). Estos lemas incluyen los discutidos por Pourciau (2001) ya citados. Luego, en el cuerpo del trabajo encontramos, entre otras, las Proposiciones 1, 6, 10, 11: en la Proposición 1, el argumento procede ensamblando una serie finita de triángulos que expresan por sus áreas iguales los incrementos de movimiento que ocurren después de una serie finita de impulsos discretos , entonces Newton escribe "ahora aumente el número de esos triángulos y disminuya su anchura en infinitum", así expresa un argumento de límites que pertenece claramente al campo del cálculo, y saca su conclusión sobre una trayectoria curva y su relación con una fuerza continua, ambos expresados ​​por referencia a los resultados en el límite de un proceso que involucra un número indefinidamente creciente de elementos (individualmente) indefinidamente decrecientes. También hay argumentos de límites en las proposiciones posteriores mencionadas, a veces expresadas más brevemente, y puede ser, vagamente, como cuando Newton escribe primero de un 'sólido' definido geométricamente expresado por una proporción en cuál de los factores, tanto en el numerador como en el denominador, depende de una distancia PQ, y luego de 'esa magnitud que [el sólido] finalmente adquiere cuando los puntos P y Q coinciden'. Tanto el contexto como el 'finalmente' indican que con la frase 'cuando los puntos... coinciden', Newton se está refiriendo al límite de las razones desarrolladas cuando los puntos se acercan entre sí, en la forma discutida en la sección inicial sobre el 'método de las razones primera y última'.

Vale la pena mencionar que la notación de fluxiones equivalía a una sola forma de notación, esencialmente la última, entre las diversas expresiones de Newton de sus ideas en este campo. Parece haber sostenido la opinión de que cualquier notación particular era relativamente poco importante en comparación con la idea 'que puede estar sin ella'. Ciertamente, uno puede estar en desacuerdo con la evaluación y la elección de notación y exposición de Newton, pero sus ideas y su trabajo al aplicarlas están atestiguados en las diversas fuentes citadas y discutidas en las referencias ya dadas.

En resumen, está claro que el cálculo no "falta" en los Principia : y aunque esta idea errónea se ha convertido en uno de los muchos mitos sobre Newton, dice más sobre la historia de los comentaristas y comentarios que sobre el trabajo real de Newton.

Newton quería exponer su teoría de la gravedad para que la gente la aceptara. Pero sus nuevos métodos de cálculo aún no eran ampliamente aceptados o conocidos y, por lo tanto, arrojarían dudas sobre su física. Por esa razón, Newton usó la geometría clásica, el lenguaje matemático de los maestros antiguos, para evitar que la gente atacara sus ideas basándose en su uso del cálculo.

Newton era muy consciente de las dificultades lógicas de su cálculo y luchó sin éxito a lo largo de su carrera para explicar la "relación última" del cociente de diferencias. No quería exponer su teoría de la gravedad a ataques basados ​​en esos temas.

Aquí hay algunos antecedentes más , que respaldan la idea de que Newton entendió los problemas lógicos con su cálculo y quería basar su física en matemáticas que todos creerían.

La otra razón era hacer su trabajo deliberadamente más difícil. Como dijo Newton: Para evitar que me seduzcan los pequeños expertos en matemáticas, deliberadamente hice que los Principia fueran abstractos; pero aún así para ser entendido por matemáticos capaces...

Notamos de pasada que si Newton regresara hoy y se le presentara Internet, estaría como en casa. No toleraba a los tontos, con alegría o sin ella, y podía arder con los mejores.