Variables ficticias en la integración: ¿Es ∫x2dx=∫y2dy∫x2dx=∫y2dy\int x^2\,dx=\int y^2\,dy?

Hay dos aspectos que deben revisarse y que podrían ayudar a aclarar la situación.

• El primero es el término variable ficticia y su uso.

• El segundo aborda el término sustitución de variables.

A continuación se ofrecen algunas reflexiones sobre estos dos aspectos.

Variables ficticias: un sinónimo de variable ficticia es variable enlazada , donde el atributo enlazado indica un ámbito específico de la variable. En primer lugar, veremos un ejemplo relacionado con integrales definidas .

Consideramos la función de valor real

$$\begin{align*} &f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &f(x)=5x+\frac{1}{3} \end{align*}$$ Hay muchas más formas de escribir la función.$f$y dos de ellos son $$\begin{align*} f(x)=5x+\frac{1}{3}&=5x+\int_{0}^1x^2\,dx\tag{1}\\ &=5x+\int_{0}^1y^2\,dy\tag{2} \end{align*}$$

• Observamos que el lado derecho de (1) tiene dos tipos diferentes de variables y (por un ligero abuso de notación) ambas se llaman$x$. La variable de integración$x$en$\int_{0}^1x^2\,dx$es una variable ficticia, es decir, una variable ligada con alcance entre el signo integral$\int$y$dx$. Tenga en cuenta que el nombre de la variable ficticia no es esencial, ya que después de todo, la integral es solo un número

  $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\frac{1}{3} \end{align*}$$ y otra representación perfectamente fina de$\frac{1}{3}$es$\int_{0}^1y^2\,dy$en (2) donde$y$es solo otra variable ficticia. Podemos escribir sin tener problemas $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\int_{0}^1y^2\,dy \end{align*}$$ que es solo decir$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.

• Una especie completamente diferente es la variable$\color{blue}{x}$en$f(\color{blue}{x})=5\color{blue}{x}+\int_{0}^1x^2\,dx$. Esta vez la variable marcada en azul$\color{blue}{x}$es una variable libre y el argumento$x$en$f(x)$aborda esta variable y no aborda la variable de integración$x$en (1) que está limitado por su alcance restringido y formulado descuidadamente no visible por$f$.

A continuación, consideramos otra función en conjunción con una integral indefinida

$$\begin{align*} &g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3=5x+\int x^2\,dx\tag{3} \end{align*}$$

Aquí tomamos como constante de integración cero y tenemos una representación de$g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3$a través de una integral indefinida.

Pero hay una diferencia significativa con (1), porque aquí el alcance de la variable de integración$x$no se limita a la integral. Decimos el integrando$x$es una variable libre y es la misma variable$x$como las otras apariciones del símbolo$x$en 3).

Conclusión: $x$en$\int x^2\,dx$no es una variable ficticia, sino una variable libre .

Sustitución: La declaración

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy \end{align*}$$ es una identidad, sin proporcionar ningún dato adicional no es correcto, como veremos en breve.

Lo que podemos decir en cualquier caso es: Dada la integral indefinida

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\frac{1}{3}x^3+C \end{align*}$$ con$C$una constante de integración, puede ser reemplazada por $$\begin{align*} \int y^2 \,dy=\frac{1}{3}y^3+C \end{align*}$$ indicando que el nombre de la variable libre de integración no es relevante.

pero no decimos$\frac{1}{3}x^3=\frac{1}{3}y^3$es una identidad, ya que es más bien una ecuación en dos variables. Por la misma razón que no decimos$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

Pero nuevamente, esto cambia cuando agregamos información adicional en el contexto de una sustitución, a saber

• Sustituyendo$x$por$y$tenemos:$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

• Ahora tenemos de hecho un sistema de dos ecuaciones, a saber

  $$\begin{align*} x&=y\tag{4}\\ \int x^2 \,dx&=\int y^2 \,dy\tag{5} \end{align*}$$ y dado (4), la ecuación (5) puede considerarse como identidad.

Ejemplos: Los siguientes ejemplos de sustitución$x$con$2x$en$f$y$g$indicar muy bien la diferencia entre el uso de una variable ligada y una variable libre.

$$\begin{align*} &f(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}=10x+\frac{1}{3}\\ &f(2x)=5(2x)+\int_{0}^1x^2\,dx=10x+\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=10x+\frac{1}{3}\tag{6} \end{align*}$$ Tenga en cuenta que en (6) el integrando$x$no es reemplazado por$2x$ya que la variable de integración ligada$x$es una especie diferente. Por otro lado tenemos $$\begin{align*} &g(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}(2x)^3=10x+\frac{8}{3}x^3\\ &g(2x)=5(2x)+\int (2x)^2\,d(2x)=10x+\int 4x^2\cdot 2\,dx=10+\frac{8}{3}x^3 \end{align*}$$

Tiene razón en entender que$x$es una variable ficticia.

$\int x^2\, dx$significa el conjunto de funciones$F(\cdot)$, tal que$F'(t) = t^2$

si reemplazas$x$con$u$en la definición anterior, puede ver una definición alternativa

"$\int u^2\, du$significa el conjunto de funciones$F(\cdot)$, tal que$F'(t) = t^2$"

Dado que la definición alternativa especifica el mismo conjunto de funciones$F(\cdot)$, son equivalentes. Es decir,$\int x^2\,dx$y$\int u^2 \,du$denotan el mismo conjunto de funciones.

En particular, dejar$g_k : t \mapsto \frac{1}{3} t^3 + k$, denotan el conjunto de funciones$\{ g_k \}_{k \in \mathbb R}$.

Con respecto a su otra pregunta, la resolución es que el libro de Stewart estaba siendo descuidado con la notación. Creo que esta es la parte a la que te refieres.

La clave es la parte que dice

y así formalmente, sin justificar nuestro cálculo, podríamos escribir

El libro de texto emplea un razonamiento "formal", que generalmente significa observar la "forma" o el patrón que hacen los símbolos y manipular esos patrones, sin tratar de razonar sobre el significado subyacente. No hay reglas precisas cuando empleas el razonamiento formal: solo haces lo que te parece correcto.

El razonamiento formal es adecuado para generar hipótesis que luego se verifican mediante una prueba real. Un ejemplo de razonamiento formal es la regla de reescritura$\frac{dy}{dx}dx \rightarrow dy$, donde un símbolo parece una fracción, por lo que lo trata como tal.

En el ejemplo del libro de texto, tienes$u = 1 + x^2$y$du = 2x dx$. Ya que parece correcto sustituir estos símbolos en la expresión integral, eso es lo que hacemos. Y entonces se siente bien llevar a cabo la anti-diferenciación como si$u$era una variable, etc. Por lo tanto, los signos de igualdad en [2] no deben tomarse literalmente, sino que más bien dicen "Espero que esto resulte estar justificado".

en primer lugar, no está integrando variables sino funciones , en segundo lugar, puede escribir$f(x) = x+1$o$f(some\_var) = some\_var + 1$lo que importa es si tienes una función definida$f$suficientemente, lo mismo en integrales, etc., una cosa a tener en cuenta es que cuando realice algún tipo de transformación de variables para simplificaciones de ecuaciones, debe asegurarse de aplicar esta transformación en todas las apariciones de variables sustituidas, por ejemplo, cuando sustituya algún tipo de expresión y tiene la derivada de esta expresión, debe calcular la derivada de su transformación y luego sustituir todas las ocurrencias con respecto a sus transformaciones