Libros de texto que usan notación con una variable de argumento explícito en el límite superior ∫x∫x\int^x para "integrales indefinidas".

Question

Libros de texto que usan notación con una variable de argumento explícito en el límite superior ∫x∫x\int^x para "integrales indefinidas".

alexey

Me atrevo a hacer una pregunta parecida a una cerrada pero más precisa.

¿Existen libros de texto establecidos u otros trabajos publicados serios que utilicen $\int^x$ notación en lugar de $\int$ para las llamadas "integrales indefinidas"?

(Creo que ya lo he visto en alguna parte, probablemente en Internet, pero no puedo encontrarlo ahora).

Entonces, estoy buscando textos donde la integral indefinida de $\cos$ se escribiria algo como:

\int^{X} porque (t) d t = pecado (X) - C

$\int^x\cos(t)dt =\sin(x) - C$ o

\int^{X} porque (X) d X = pecado (X) + C .

$\int^x\cos(x)dx =\sin(x) + C.$

(Esta notación parece más sensata y consistente con la de integrales definidas que la común con integrales desnudas). $\int$ .)

Algo de contexto.

OMI, la integral indefinida de $f$ en un intervalo dado $I$ de definición de $f$ no debe definirse como el conjunto de antiderivadas de $f$ en $I$ sino como el conjunto de todas las funciones $F$ de la forma

F (X) = \int_{a}^{X} F (t) d t + C, X \in I,

$F(x) =\int_a^x f(t)dt + C,\qquad x\in I,$ con

a \in I

$a\in I$ y

C

$C$ una constante (o como una cierta función particular indefinida de tal forma). En otras palabras, creo que las integrales indefinidas deberían definirse en términos de integrales definidas y no en términos de antiderivadas. (Después de todo, el signo integral históricamente representaba una suma).

En este caso, el hecho de que la integral indefinida de una función continua $f$ en un intervalo $I$ coincide con el conjunto de antiderivadas de $f$ en $I$ es el contenido del primer y segundo teoremas fundamentales del cálculo:

El primer teorema fundamental del cálculo dice que todo representante de la integral indefinida de $f$ en $I$ es una antiderivada de $f$ en $I$ , y
El segundo teorema fundamental del cálculo dice que toda antiderivada de $f$ en $I$ es un representante de la integral indefinida de $f$ en $I$ (es un corolario fácil del primero junto con el teorema del valor medio ).

mrtaurho

La afirmación de que esto parece "mucho menos absurdo que el común con el desnudo $\int$ " es extremadamente subjetivo. Además, ¿por qué no está satisfecho con la respuesta dada en su hilo vinculado?

alexey

@mrtaurho, si acordamos alguna medida razonable para evaluar el absurdo de la notación matemática, puedo estar dispuesto a discutir con usted.

alexey

@mrtaurho, si quiere decir "Tengo la sensación de que he visto su notación utilizada en otros lugares (el pensamiento persistente en la parte posterior de mi cabeza es que los autores rusos la usaron, pero no tengo ningún ejemplo a mano para verificar eso) ", entonces no, no estoy satisfecho con esto. No veo ninguna otra referencia en el hilo vinculado.

mrtaurho

Permítanme reformular lo que quería enfatizar: ¿es realmente necesaria esta nota al margen controvertida (sí, yo la llamaría controvertida ya que usted argumenta en contra de una notación realmente bien establecida)? Hablar de notación matemática es, digamos, extraño; alguien lo inventó y luego lo mantuvimos o lo cambiamos con el tiempo, pero después de todo, hay algunos, los simples

\int

$\int$ entre ellos - notaciones establecidas. Por favor, no me malinterpreten, no me desagrada su pregunta ni quiero cuestionar su premisa. Solo encuentro tu redacción un poco exagerada.

alexey

@mrtaurho, lo siento, pero por ahora prefiero mantenerlo, tal vez a costa de no ser votado a favor o en contra. Existe una notación mal elegida, y hasta ahora ésta me parece un ejemplo de ello. Las integrales indefinidas parecen un tema bastante resbaladizo, y tal vez en parte debido a la notación. Si no me he perdido algo, los libros de Bourbaki y de Walter Rudin los evitan por completo, y en el libro de Michael Spivak los introduce pero ni se molesta en escribir

+ C

$+C$ , y se parecen un poco a manipulaciones simbólicas abstractas.

alexey

@mrtaurho, espiritualmente soy un lógico y me importan mucho las variables vinculadas, las variables libres, etc.

alexey

@mrtaurho, cambié un poco la redacción porque me di cuenta de que las anotaciones con

\int^{x}

$\int^x$ o

\int_{a}^{b}

$\int_a^b$ (para integrales definidas) tampoco están libres de problemas.

Respuestas (1)

Libros de texto que usan notación con una variable de argumento explícito en el límite superior ∫x∫x\int^x para "integrales indefinidas".

La afirmación de que esto parece "mucho menos absurdo que el común con el desnudo $\int$ " es extremadamente subjetivo. Además, ¿por qué no está satisfecho con la respuesta dada en su hilo vinculado?
@mrtaurho, si acordamos alguna medida razonable para evaluar el absurdo de la notación matemática, puedo estar dispuesto a discutir con usted.
@mrtaurho, si quiere decir "Tengo la sensación de que he visto su notación utilizada en otros lugares (el pensamiento persistente en la parte posterior de mi cabeza es que los autores rusos la usaron, pero no tengo ningún ejemplo a mano para verificar eso) ", entonces no, no estoy satisfecho con esto. No veo ninguna otra referencia en el hilo vinculado.
Permítanme reformular lo que quería enfatizar: ¿es realmente necesaria esta nota al margen controvertida (sí, yo la llamaría controvertida ya que usted argumenta en contra de una notación realmente bien establecida)? Hablar de notación matemática es, digamos, extraño; alguien lo inventó y luego lo mantuvimos o lo cambiamos con el tiempo, pero después de todo, hay algunos, los simples $\int$ entre ellos - notaciones establecidas. Por favor, no me malinterpreten, no me desagrada su pregunta ni quiero cuestionar su premisa. Solo encuentro tu redacción un poco exagerada.
@mrtaurho, lo siento, pero por ahora prefiero mantenerlo, tal vez a costa de no ser votado a favor o en contra. Existe una notación mal elegida, y hasta ahora ésta me parece un ejemplo de ello. Las integrales indefinidas parecen un tema bastante resbaladizo, y tal vez en parte debido a la notación. Si no me he perdido algo, los libros de Bourbaki y de Walter Rudin los evitan por completo, y en el libro de Michael Spivak los introduce pero ni se molesta en escribir $+C$ , y se parecen un poco a manipulaciones simbólicas abstractas.
@mrtaurho, espiritualmente soy un lógico y me importan mucho las variables vinculadas, las variables libres, etc.
@mrtaurho, cambié un poco la redacción porque me di cuenta de que las anotaciones con $\int^x$ o $\int_a^b$ (para integrales definidas) tampoco están libres de problemas.

bof · Answer 1

Esa notación se usa en el libro de texto clásico Elementary Differential Equations de William E. Boyce y Richard C. DiPrima, al menos en la tercera edición (1976), que es la que tengo. Citando de la pág. 11 (comienzo del Capítulo 2):

El tipo más simple de ecuación diferencial de primer orden ocurre cuando $f$ depende
solo de $x$ . En este caso
$\begin{matrix} (2) & y^{'} = F (X) \end{matrix}$ $y'=f(x)\tag2$ y buscamos una función $y=\phi(x)$ cuya derivada es la función dada $f$ . Por
cálculo elemental sabemos que $\phi$ es una antiderivada de $f$ , y escribimos $\begin{matrix} (3) & y = ϕ (X) = \int^{X} F (t) d t + C, \end{matrix}$ $y=\phi(x)=\int^xf(t)dt+c,\tag3$ dónde $c$ es una constante arbitraria. Por ejemplo, si $y^{'} = pecado 2 X,$ $y'=\sin2x,$ entonces $y = ϕ (X) = - \frac{1}{2} porque 2 X + C .$ $y=\phi(x)=-\frac12\cos2x+c.$ En la ecuación. $(3)$ y en otras partes de este libro usamos la notación $\int^xf(t)dt$ para denotar
una antiderivada de la función $f$ ; eso es, $F(x)=\int^xf(t)dt$ designa algún
representante particular de la clase de funciones cuyas derivadas son iguales a $f$ .
Todos los miembros de esta clase están incluidos en la expresión $F(x)+c$ , dónde $c$ es una
constante arbitraria.

PD Pensándolo bien, no estoy seguro de que Boyce y DiPrima usen la notación $\int^xf(t)dt$ de la misma manera que lo haces tú. Para ellos la solución general de la ecuación diferencial

y^{'} = F (X)

$y'=f(x)$ es

y = \int^{X} F (t) d t + C

$y=\int^xf(t)dt+c$ desde

y = \int^{x} f (t) d t

$y=\int^xf(t)dt$ es alguna solución particular (no especificada); pero por ti creo

y = \int^{X} F (t) d t

$y=\int^xf(t)dt$ ya es la solución general.

Gracias, el significado sutilmente diferente es una pregunta secundaria. De hecho, no puedo decidir qué significa la integral indefinida (en cualquier notación): una clase de funciones o una función desconocida. Soy más favorable para tratar es como una función desconocida de manera similar a $O(...)/o(...)$ (O grande y o pequeña).
Otra observación: parecen definir la integral indefinida en términos de antiderivadas y, de hecho, así es como se suele hacer. Hubiera preferido que se definiera en términos de integrales definidas.
Sin embargo, la frase "A partir del cálculo elemental sabemos que ϕ es una antiderivada de f" es extraña. Esto es lo que es una antiderivada por definición, basta saber lo que significa "antiderivada".

Libros de texto que usan notación con una variable de argumento explícito en el límite superior ∫x∫x\int^x para "integrales indefinidas".

alexey

mrtaurho

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bof

alexey

alexey

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El significado de dxdxdx en una integral indefinida

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

¿Fuente de la afirmación de que Leibniz descubrió la separación de variables para las EDO en 1691?

Problema con integral indefinida ∫cos4xsin3xdx∫cos4⁡xsin3⁡xdx\int\frac {\cos^4x}{\sin^3x} dx

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

¿Quién inventó la notación de Leibnitz d2ydx2d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} para la segunda derivada?

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Significado del signo menos en la parte superior o inferior de la integral