Sorprendido por la notación en el teorema fundamental

$G$es cualquier antiderivada. La distinción aquí es importante porque si una función$f(x)$tiene una antiderivada$F(x)$, entonces$G(x) = F(x) + C$es también un antiderivado de$f$para cualquier constante$C$. Entonces, hay muchos, y cualquiera de ellos es suficiente para calcular la integral definida$\int_a^b f(x)\;dx$.

Se suele escribir con$F(b) - F(a)$como dices, por ejemplo en Wikipedia y Mathworld .

Sin embargo, mientras$F$por lo general denota la antiderivada de$f$, esto no es necesariamente cierto ($f$y$F$pueden no tener ninguna relación dependiendo del contexto). podrías especificar$G' = f$y en su lugar usa la notación que has escrito. Pero si el libro no lo ha hecho ( EDITAR: ahora veo que lo hizo ), entiendo su confusión.

El autor define una función específica$F(x)$por$F(x) = \int_a^xf(x)dx$y muestra que es una antiderivada de$f(x)$.

No asume ni afirma que es la única antiderivada, por lo que no dice "la" antiderivada.

Luego pasa a manejar el caso de cualquier otra antiderivada que pueda existir, llamándola$G(x)$sólo para darle un nombre con el fin de indicar el resultado.

Tenga en cuenta que su llamado$F$ "la" antiderivada es incorrecta en ese sentido. Entiendo lo que quieres decir (y todos los demás también), y el resultado indicado muestra que no importa qué antiderivada elijas, siempre y cuando le restes dos valores, lo que hace que la constante arbitraria desaparezca al final. El contenido real es que todas las antiderivadas, al final, solo difieren en una constante.

Para profundizar en lo que ya se ha dicho, la notación$F(x) = \int_a^x f(t) dt$significa lo siguiente: dibujar una gráfica de$f$y encuentre el área debajo de la parte del gráfico que comienza en un valor de entrada de$a$y termina en un valor de entrada de$x$. El área que calculas es$F(x)$.

Por ejemplo, puedes darte cuenta de que$\int_1^x 2t dt = x^2 - 1$simplemente dibujando la función y usando la fórmula para el área de los trapecios. Entonces, en este ejemplo,$f(x) = 2x$, y$F(x)$en la parte 1 del teorema tiene que ser la función$F(x) = x^2-1$.

La segunda parte del teorema dice que si quieres encontrar$\int_a^b f(x) dx$, es decir, el área bajo la gráfica de$f$a partir de un valor de entrada de$a$y terminando en un valor de entrada de$b$, puede hacer lo siguiente: elegir cualquier antiderivada$G(x)$, para$f(x)$, y luego tomar$G(b) - G(a)$. El resultado es el área que buscas encontrar. Por ejemplo, suponga que desea encontrar$\int_2^3 x^2 dx$. De nuevo,$f(x) = 2x$, pero puedes tomar$G(x)$ser$x^2 - 1$o$x^2 + 3$o$x^2$, ya que todas estas funciones tienen$2x$como su derivado. No importa cuál de estos elijas,$G(3) - G(2)$le dará el área bajo el gráfico de$f(x) = 2x$de$x = 2$a$x = 3$.