Notación de derivadas múltiples

Creo que la respuesta a la primera pregunta es bastante sencilla: el símbolo$\frac{ds}{dt}$es la abreviatura del límite$\delta t\to 0$de

$$\frac{\delta s}{\delta t} = \frac{s(t+\delta t)-s(t)}{\delta t}.$$

cada vez que ves$d$pensar en el cambio$\delta$teniendo en cuenta que el límite de$\delta$se llevará a cero.

Ahora, la segunda derivada es el límite.$\delta t\to 0$de

$$\frac{\frac{s(t+2\delta t)-s(t+\delta t)}{\delta t}-\frac{s(t+\delta t)-s(t)}{\delta t}}{\delta t} = \frac{\overbrace{(s(t+2\delta t)-s(t+\delta t))}^{\delta s(t+\delta t)}-\overbrace{(s(t+\delta t)-s(t))}^{\delta s(t)}}{\delta t^2} = \frac{\delta(\delta s)}{\delta t^2}.$$ y de ahí el símbolo$\frac{d^2s}{dt^2}$.

Para la segunda pregunta , hay dos respuestas. La respuesta oficial es que$\frac{ds}{dt}$es solo un símbolo de derivada, y no debes separar$ds$y$dt$, y el hecho de que funcione es solo una coincidencia, ...

No creo en las coincidencias, así que profundicemos para ver si hay alguna razón para que eso funcione. Comencemos con

$$\frac{ds}{dt} = v$$ Esto significa que en cada punto$t$,$\delta s$es aproximadamente$v\,\delta t$. Y esta aproximación es más precisa cuanto menor sea$\delta t$. Ahora, si quieres saber cuánto$s$cambios en algún intervalo de tiempo$[0,t]$, solo sumas todos los pequeños cambios en$\delta s$para todos los intervalos de tiempo más pequeños$\delta t$. Ahora tenemos $$s \approx \sum \delta s \approx \sum v\, \delta t$$ donde las aproximaciones se vuelven exactas cuando$\delta t$va a cero. El límite$\delta t \to 0$de $$\sum v\, \delta t$$ se define como la integral $$\int v\, dt$$

Básicamente, cuando te separas$ds$y$dt$, estás posponiendo tomar el límite$\delta t\to 0$.

Además, vea mi respuesta a una pregunta relevante.

$\frac {d^2s}{dt^2}$es la tasa de cambio de la tasa de cambio de la distancia. Es un operador diferencial que actúa sobre algo que ya es una derivada.

Mientras que Leibnitz originalmente pensó en$\frac {ds}{dt}$como una razón de infinitesimales que era efectivamente una fracción en todos los sentidos, eso ya no es lo que la notación significa hoy.

$\frac {d}{dt}$es de hecho un símbolo!

$\frac {ds}{dt}$es el operador diferencial,$\frac {d}{dt}$aplicado a la función$s(t)$es decir$\frac {ds}{dt} = \frac {d}{dt} s(t)$

$\frac {d^2s}{dt^2}$es el operador diferencial aplicado a$\frac {ds}{dt}$o$\frac {d}{dt}\frac{ds}{dt}$

entonces$\frac {d^2s}{dt^2} = (\frac {d}{dt})(\frac {d}{dt}) s(t)$

Además,$\frac {ds^2}{dt^2}$podría interpretarse como$(\frac {ds}{dt})^2$

La respuesta matemática, como han señalado otros en comentarios y respuestas, es que$d/dt$es un solo símbolo en el uso moderno, por lo que tiene sentido que el operador aplicado dos veces sea$(d/dt)^2 = \frac{d^2}{dt^2}$.

El físico a menudo trata algo como$ds/dt$como una relación entre pequeñas cantidades, al menos intuitivamente. Estrictamente hablando matemáticamente, esto está en algún lugar entre descuidado y equivocado. En muchos casos, sin embargo, funciona funcionalmente y el físico lo acepta felizmente. Esto parece estar más en la línea de lo que estás preguntando.

En este caso, (una vez más notando que esto no es matemáticamente riguroso en absoluto), podría verlo de esta manera. tal vez tienes

$v(t) = \frac{ds}{dt} \\ a(t) = \frac{dv}{dt}$

Hasta aquí todo bien, ya que cada uno tiene la forma que su intuición exigía: el primero "parece" una relación entre pequeños cambios de posición con pequeños cambios de tiempo. El segundo "parece" una relación entre pequeños cambios en la velocidad con pequeños cambios en el tiempo. Si sustituyes, obtienes

$a(t) = \frac{d}{dt} \frac{ds}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$

Volveré a enfatizar que pensar en estos como símbolos separados es matemáticamente descuidado y/o incorrecto, pero es consistente con lo que llamaste "intuición física" en tu pregunta. El$d^2$en el numerador vino porque "simplificó" la fracción: si desea verla en términos de infinitesimales, debe ejecutar la última ecuación de derecha a izquierda para ponerla en una forma diferente.

Resumiré algunas ideas presentadas en este artículo: http://online.watsci.org/abstract_pdf/2019v26/v26n3a-pdf/4.pdf

La mejor manera de pensar en$\frac{d}{dt}$es como dos cosas separadas. (1) la parte superior$d$es el operador diferencial (lineal) en lo que sea que esté a la derecha y (2) el$dt$es un infinitesimal, es decir, el mismo operador diferencial aplicado a una sola variable, en este caso$t$(p.ej,$d(x^2) = 2xdx$y dividiendo por$dx$rendimientos$2x$, es decir, la derivada de$x^2$). Los infinitesimales son compatibles con los números hiperreales ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number ) de análisis no estándar que reciben un tratamiento introductorio en https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc .html _

En el artículo original hice referencia a la notación$\frac{d^2s}{dt^2}$se explica usando la descripción que di para la versión de primer orden. El argumento de Barlett conduce al equivalente matemático real de segundo orden de$\frac{d}{dt}$siendo (usando la notación de Arbogast más concisa a la izquierda, también favorecida por Euler)

$$D_t^2 = \frac{d^2s}{dt^2} - \frac{ds}{dt}\frac{d^2t}{dt^2}$$

donde usualmente$t$se toma como una variable independiente, por lo que la mitad derecha de la ecuación se convierte en cero. Esta explicación es más general que los casos donde la variable independiente es$t$y permite manipular algebraicamente la notación de Leibniz de segundo orden. En resumen,$dt$no es "solo un símbolo", es un infinitesimal y$\frac{d}{dt}$es un operador diferencial en la parte superior con el$dt$siendo una división algebraica por un infinitesimal.

La notación vino de considerar primero las diferencias finitas antes de pasar a las diferencias infinitesimales.

Así, la primera diferencia en$s=s(t)$es$\Delta s =s(t+\Delta t)-s(t),$lo que da

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t},$$ y la segunda diferencia es $$\Delta \Delta s =\Delta (s(t+\Delta t)-s(t))=\Delta s(t+\Delta t)-\Delta s(t)=s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t).$$ Por tanto, el segundo cociente de diferencia es $$\frac{\Delta \Delta s}{\Delta t\Delta t}\frac{s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t)}{\Delta t\Delta t}.$$

Tenga en cuenta que generalmente escribimos$\Delta \Delta s=\Delta^2 s$y$\Delta t \Delta t={\Delta t}^2.$

Esto muestra por qué Leibniz hizo esa elección de notación.

Y ahora una palabra sobre los diferenciales. Un diferencial es un cambio infinitesimal en una función, y un infinitesimal es una cantidad infinitamente pequeña, por así decirlo. Uno puede pensar semiformalmente en él como una cantidad cercana a cero. No solo la cantidad, o el límite cero al que se acerca, sino la cantidad y su aproximación a cero. Así, esta definición semiformal se parece a la de las cantidades vectoriales de la física, que capturan una noción de cantidades dirigidas. Eso es lo que captura la noción de infinitesimal: nuestra intuición de instantes de tiempo, puntos en una línea, etc.

Habiendo dicho eso, entonces está claro que podemos manejar los diferenciales por separado y realizar operaciones con ellos, y así es como se usaron desde el principio (por lo tanto, el cálculo diferencial, las ecuaciones diferenciales, etc.). En particular, si estamos pensando en cantidades que dependen de una sola variable independiente, entonces podemos sumar, restar, multiplicar las diferenciales de tales cantidades para obtener diferenciales similares. Sin embargo, con la división, aun cuando la diferencial en el denominador no sea la de una función constante, hay que tener cuidado, porque el resultado ya no es siempre una diferencial. En muchos casos es una función, y es por eso que el cálculo diferencial se trata de calcular este tipo de razón de diferenciales.

Cuando llegamos a la integración, lo que estamos haciendo es juntar un flujo continuo de diferenciales, para dar una cantidad.

El resultado de todo esto es que tienes razón. Incluso aquellos que desterrarían hablar de diferenciales (incluso después de su justificación en el llamado análisis no estándar) no pueden evitar usarlos al calcular integrales. Y no puedo imaginarlos todavía hablando así si quieren integrarse sobre variedades arbitrarias, por ejemplo. Entonces, con cuidado y comprensión, uno puede calcular con diferenciales, una vez que comprende su procedencia y las reglas de comportamiento: son solo diferencias infinitesimales, es decir, podemos pensar en$\rm d$como la pareja$(\Delta, \Delta\to 0),$y obedecen muchas de las reglas habituales de un anillo (una vez que se trata de una sola variable independiente). Con más de una variable independiente, las cosas se complican un poco y es posible que deba recurrir al álgebra multilineal para obtener ayuda. Pero esa es otra historia.