En cálculo, ¿cómo debo interpretar el superíndice -1 en funciones trigonométricas?

$\tan^{-1}x=\arctan x$. Es una desafortunada confluencia de convenciones, pero afortunadamente la función$1/\tan x$tiene un nombre,$\cot x$, lo que facilita la eliminación de ambigüedades.

Respuesta corta: esta es una terrible colisión de notación debido al hecho de que hay dos tipos de operaciones binarias en funciones que a menudo se denotan por concatenación , pero el$-1$El exponente generalmente denota la composición de la función inversa de la función trigonométrica que ingresa un número y genera un ángulo.

Respuesta bastante larga: tengo que aclarar esto cada semestre en mis clases de álgebra/cálculo, así que aquí hay algunas ideas más completas.

Supresión de consideraciones de dominio, funciones dadas$f$y$g$, podemos formar el producto puntual cuyo valor en$x$es$f(x)\,g(x)$, o podemos formar la composición$\smash{f\bigl(g(x)\bigr)}$, cualquiera de los cuales a menudo se denota por$fg$, dependiendo del contexto. (A veces la composición se denota$f \circ g$para desambiguar explícitamente los dos, pero sigue leyendo).

Cada operación tiene una identidad, digamos$e$. Para la multiplicación, esta es la función constante.$x \mapsto 1$, entonces$fe = ef = f$para cualquier función$f$desde$f(x) \, 1 = 1 \, f(x) = f(x)$para todos$x$. Sin embargo, para la composición, esta es la función identidad.$x \mapsto x$entonces$fe = ef = f$para cualquier función$f$desde$f(e(x)) = e(f(x)) = f(x)$para todos$x$en este caso.

Yendo más allá, podemos combinar una función consigo misma de cualquier manera. Debería$f^2 = ff$denota el producto que se evalúa como$\smash{\bigl( f(x) \bigr)^2} = f(x) f(x)$? ¿O debería denotar la composición$\smash{f\bigl( f(x) \bigr)}$? Análogamente, para cualquier natural$n$, es$f^n$el$n$-doblar el producto por puntos$f(x) \cdots f(x)$o el$n$-composición anidada de pliegues$f(f(\cdots f(x) \cdots ))$?

Y luego está el inverso, cuando existe: el inverso de$f$es la función$f^{-1}$tal que$ff^{-1} = f^{-1}f = e$, la identidad. Si estás trabajando con la multiplicación , entonces$f^{-1}(x) = \smash{\bigl( f(x) \bigr)^{-1}} = 1/f(x)$. Pero si estás trabajando con composición , la inversa es la función donde$f^{-1}(x) = y$significa que$f(y) = x$.

¡Este es un problema real con las funciones trigonométricas, donde estamos realmente interesados ​​en ambos tipos de inversas! Para evitar esta ambigüedad, muchos de nosotros evitamos el superíndice$\tan^{-1}$notación completamente, en lugar de optar por

Apéndice 1. Este problema se vuelve aún más confuso en el álgebra lineal, donde dos transformaciones lineales, digamos$S$y$T$, están representados en coordenadas por matrices, digamos$A$y$B$, y la composición$ST$está representado por la matriz del producto$AB$, y esa operación en las matrices se llama multiplicación (por buenas razones, pero estoy divagando).

(Vea el comentario de David Z a continuación.) Anexo 2. En el paradigma orientado a objetos en informática, este uso múltiple del mismo nombre que depende del contexto se celebra bajo el nombre de polimorfismo , donde los objetos de diferentes clases pueden admitir un método de la mismo nombre.

La moraleja es que el contexto importa , y la notación solo contiene tanta información como la imbuyes. A menudo, el contexto se suprime al depender de las convenciones, que es esencialmente lo que su pregunta (y otras preguntas espiritualmente similares sobre el orden de las operaciones, etc.), ¡ pero suprimimos ese contexto a nuestro propio riesgo! Debemos aspirar a comunicar las matemáticas de manera concisa, pero sin ambigüedades. Recuerda: la notación funciona para ti, no al revés.