Cambio de notación con Integrales

Question

Cambio de notación con Integrales

K7PEH

Hace poco más de 50 años tomé mi primera clase de Cálculo y aprendí la forma convencional de una integral como:

\int F (X) d X

$\int f(x)\,\, \textrm{d}x$ Es decir, el signo integral (definido o indefinido) seguido de la función que se integra seguida de la variable de integración como

d x

$\textrm{d}x$ (en este ejemplo).

Sin embargo, durante la jubilación decidí emprender una aventura de autoaprendizaje en Teoría Cuántica de Campos y también en Relatividad General y otros temas de física matemática. Al leer muchos artículos y libros de texto diferentes sobre estos temas, encuentro muchos autores que usan esta variación de la integral:

\int d X F (X)

$\int \textrm{d}x\,\,f(x)$ Donde al signo integral le sigue inmediatamente la designación de las variables a integrar. Otros ejemplos incluyen:

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} d^{4} q L (ϕ, \dot{ϕ}; t)

$S = \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}^4q\,\,\mathcal{L}(\phi,\dot{\phi}\,;t)$ Para la integral de acción de un campo descrita por la función de Densidad Lagrangiana o un ejemplo de la Relatividad General,

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} {gramo}^{m v} R_{m v} (Γ)

$S=\int \textrm{d}^4 x\sqrt{-g}\,\,g^{\mu \nu}\,\,R_{\mu \nu}\,(\,\Gamma\,)$ Ahora que estoy acostumbrado a ver y usar esta notación, la prefiero mucho más que la notación que aprendí en las clases de Cálculo y que he usado desde entonces en el trabajo y el juego. Me gusta la idea de ver la integral, sus límites y las variables de integración descritas todas a la vez antes de considerar la función a integrar.

Mi pregunta es si esta notación es reconocida por otros, en particular por los matemáticos, ya que yo mismo solo la he visto utilizada en varios artículos y textos de temas de física matemática. Además, quién lo usó primero y si estaban motivados por la misma idea que personalmente considero una mejora, es decir, simplemente se lee mejor.

alejandro eremenko

Es solo una cuestión de conveniencia, no tiene un significado profundo. Se utilizan ambas notaciones.

gerald edgar

Encuentras la notación

\int d x f (x)

$\int\;dx\;f(x)$ solo en fisica. Ya no en matemáticas. Esos tipos lo usan por tradición. Algunos dicen que es mejor de alguna manera, pero otros no están de acuerdo.

pablo garrett

Además, especialmente en una sola variable, o si las variables no están "separadas", es legítimo y eficiente escribir simplemente

\int f

$\int f$ , o

\int_{a}^{b} f

$\int_a^b f$ , ya que la "variable de integración" es solo un dummy (y cualquier medida que no sea la medida habitual de Lebesgue ya debería haberse especificado ...) Incluso en más de una variable, usar una flecha desambigua mejor:

t \to \int f (t, -)

$t\to \int f(t,-)$ es eficiente

Respuestas (2)

Cambio de notación con Integrales

Es solo una cuestión de conveniencia, no tiene un significado profundo. Se utilizan ambas notaciones.
Encuentras la notación $\int\;dx\;f(x)$ solo en fisica. Ya no en matemáticas. Esos tipos lo usan por tradición. Algunos dicen que es mejor de alguna manera, pero otros no están de acuerdo.
Además, especialmente en una sola variable, o si las variables no están "separadas", es legítimo y eficiente escribir simplemente $\int f$ , o $\int_a^b f$ , ya que la "variable de integración" es solo un dummy (y cualquier medida que no sea la medida habitual de Lebesgue ya debería haberse especificado ...) Incluso en más de una variable, usar una flecha desambigua mejor: $t\to \int f(t,-)$ es eficiente

usuario466 · Answer 1

El cálculo se formuló originalmente en términos de infinitesimales. Cientos de años después, se encontró una segunda formulación en términos de límites. Originalmente hubo algunas dudas sobre si la versión que usa infinitesimales estaba lógicamente bien, pero estas dudas fueron aclaradas por Robinson y otros ca. 1961.

La notación de Leibniz $\int f(x) dx$ fue inventado en el período anterior, por lo que en esta notación, $dx$ una notación para un infinitesimal. Puedes imaginar una suma de Riemann con los rectángulos angostos que tienen un ancho infinitesimal $dx$ . Lo que está dentro del signo integral es el ancho de uno de esos rectángulos: su altura $f(x)$ multiplicado por su ancho $dx$ . Como la multiplicación es conmutativa, tenemos literalmente $f(x)dx=dxf(x)$ .

Algunos profesores de matemáticas todavía les dicen a sus alumnos que el $dx$ es solo puntuación, o solo funciona como una declaración de qué variable se está integrando con respecto a. Esto podría deberse a que temen que sus alumnos se confundan al hablar sobre los infinitesimales, o porque los propios profesores no saben que se han aclarado las preocupaciones sobre los problemas lógicos con los infinitesimales.

Mi pregunta es si esta notación es reconocida por otros, en particular por los matemáticos, ya que yo mismo solo la he visto utilizada en varios artículos y textos de temas de física matemática. Además, quién lo usó primero[...]

La notación fue utilizada por primera vez por Leibniz, con los factores escritos en el orden que fuera conveniente. Es reconocido universalmente, con los factores en cualquier orden, por personas que entienden los hechos históricos y matemáticos anteriores.

Sí, entiendo y estoy de acuerdo con sus declaraciones anteriores y las sabía cuando planteé mi pregunta. También conozco los números hiperreales de Robinson y su enfoque infinitesimal del cálculo (tengo una copia del texto de Keisler "Fundamentos del cálculo infinitesimal"). Pero esa no es la respuesta que esperaba encontrar. Tengo una biblioteca bastante elaborada que cubre tanto Matemáticas como Física y ni un solo libro de Matemáticas usa la notación del $dx\,f(x)$ orden. Claro, está bien usarlos en cualquier orden, pero la tradición parece mostrar que los matemáticos siempre han elegido un orden.
Entonces, los físicos decidieron cambiar el orden y esa es la esencia de mi pregunta, cuándo y por qué se tomó esa decisión.
@K7PEH: Entonces, los físicos decidieron cambiar el orden. Creo que has llegado a una conclusión equivocada. Creo que originalmente el orden era libre, luego a los matemáticos les dejaron de gustar los infinitesimales y empezaron a pensar en el dx como puntuación y siempre lo escribían al final. Mientras tanto, los físicos y los ingenieros seguían haciendo lo que habían estado haciendo durante cientos de años, que era escribir los factores en cualquier orden, libremente.
Creo que Ben tiene razón. Los matemáticos empezaron a pensar en $\int$ y $dx$ como paréntesis de apertura y cierre, y siempre escribiendo $\int f(x)\,dx$ , mientras que los físicos comenzaron a pensar en $\int dx$ como operador, y siempre escribiendo $\int dx \;f(x)$ .
@GeraldEdgar --- su comentario conciso anterior es el más cercano al tipo de respuesta que me parece bastante plausible desde que comencé a pensar en la idea del operador, por lo que me atrae la notación física.
@BenCrowell: su comentario "... los físicos y los ingenieros siguieron haciendo lo que han estado haciendo durante cientos de años..." no concuerda con lo que he visto y he leído muchos de los artículos publicados en APS Physical Revise y no recuerdo haber visto el llamado enfoque de operador (como menciona Gerald Edgar) en uso. Tal vez me lo haya perdido o lo haya ignorado, pero los ejemplos citados ayudarían.

usuario5707 · Answer 2

$f(x)dx$ es un producto tal que se conserva la conmutatividad (como el cociente diferencial como límite de una sucesión de fracciones mantiene la notación como fracción). La notación "física" le ahorra algunos paréntesis al integrar diferentes variables con diferentes rangos: $\int_a^b dx\int_c^d dyf(x, y)$ . En $\int_a^b \int_c^d f(x, y)dxdy$ los rangos son menos claros. Esta notación no solo se usa en física. Véase, por ejemplo, pág. 270 de este libro de texto de matemáticas: https://www.amazon.de/Mathematik-ersten-Semester-Gruyter-Studium/dp/3110377330/ref=pd_cp_14_1?ie=UTF8&refRID=1TB0TDD9MB9DAA735D6K

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