El significado de dxdxdx en una integral indefinida

Question

El significado de dxdxdx en una integral indefinida

cálculo
notación
integración
Matemáticas
diferencial
Integrales indefinidas

Andrexema

Este semestre estoy tomando cálculo integral por primera vez. Empezamos con el diferencial (es decir $dy=f'(x)\,dx$ ) y justo después con la integral indefinida. Desde entonces, he estado tratando de darle sentido a la $dx$ cuando es parte de una integral indefinida (es decir $\int f(x) \, \boldsymbol{dx}$ ). Sé que ya hay miles de respuestas con respecto a esta pregunta, pero todas se refieren a la integral definida y las que tocan las integrales indefinidas solo dicen cosas como "es solo un dispositivo sintáctico para decirte la variable a diferenciar con respecto a o la variable de integración ” (Ihf, 2012, web). No me gusta esta respuesta, especialmente porque me enseñaron que dadas dos funciones $f(x)$ , $g(x)$ y la antiderivada de su producto $\int f(x)g(x)\,dx$ , si tuviera que asignar $f(x)$ a $u$ y $g(x)\,dx$ a $dv$ para integrar por partes, entonces tendría que integrar $dv$ encontrar $v$ . Esto solo tiene sentido si $dx$ significa algo por sí mismo y no es solo una peculiaridad de la notación, de lo contrario terminaríamos con algo como lo siguiente:

\int gramo (X) d X d X

$\int g(x)\,dx\space dx$

Después de pensarlo mucho, creo que finalmente encontré una manera de darle sentido a la $dx$ como algo que no es pura y simplemente un dispositivo de notación. Mi razonamiento es el siguiente:

Dada una función $f(x)$ , dejar $y=f(x)$ . Entonces $\frac{d y}{d X} = F^{'} (X)$ $\frac{dy}{dx}=f'(x)$
Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, sabemos que $\int \frac{d y}{d X} d X = y$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=y$
Dejar $dy=f'(x)\,dx$ . Entonces la ecuación $d y = \frac{d y}{d X} d X$ $dy=\frac{dy}{dx}\,dx$ sostiene y $\int \frac{d y}{d X} d X = \int d y = y$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int dy=y$
Finalmente, integre ambos lados de la ecuación $dy=f'(x)\,dx$ para que $\int d y = \int F^{'} (X) d X ⟹ y = F (X)$ $\int dy=\int f'(x)\,dx\implies y=f(x)$

De esto concluyo que, al integrar una función, lo que realmente estamos haciendo es integrar la diferencial de esa función. Esto tiene perfecto sentido para mí, aunque soy consciente de que las cosas aparentemente lógicas no son necesariamente lógicas. Por eso agradecería si alguien pudiera decirme si lo anterior es matemáticamente correcto o pura tontería.

PD: Nunca antes había escrito una demostración matemática y aún no he tomado cursos de demostración, por lo que cualquier sugerencia es bienvenida.

Referencia: lhf . (2012, 9 de mayo). Que hace $dx$ ¿significar? . Intercambio de pila de matemáticas. https://math.stackexchange.com/q/143262

ninad mushi

Debo decir que este es un análisis muy lógico y metódico para alguien que nunca antes ha hecho una prueba. Así es como los profesionales esbozan sus ideas antes de intentar hacer agujeros o probar casos de ellas.

roberteltutor

Eso es bastante bueno. Cada vez que tengo problemas para entender

d -

$d-$ no sé qué, lo pongo encima

d t

$dt$ para convertirla en una función derivada y poner

d t

$dt$ junto a él. Parece funcionar para tratar con diferenciales en general. Reduzca todo al mismo caso simple si es posible.

Arturo

Estoy convencido de que las integrales indefinidas como un todo son solo una peculiaridad notacional que significa "antidiferenciar". Solo pretende verse como una integral definida porque el teorema fundamental del cálculo nos dice que las dos operaciones están estrechamente relacionadas. Por supuesto, eso no es demasiado decir que el significado no se puede imponer

d x

$dx$ en una integral indefinida. Solo que eso no es algo que me preocupe personalmente.

hierba steinberg

Siempre puedes ver una integral indefinida como una integral definida con un límite inferior no especificado.

F (x) = \int^{x} f (y) d y

$F(x)=\int^x f(y)dy$ es la integral indefinida de

f (x)

$f(x)$ .

JG

Si

u = f (x), d v = g (x) d x

$u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ entonces

v = \int d v = \int g (x) d x

$v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , mientras

\int v d x = \int (\int g (x) d x) d x

$\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . El número de

d

$\mathrm{d}$ s siempre es igual al número de

\int

$\int$ s.

invierno

Pregunta relacionada: es

\frac{d y}{d x}

$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ no es una proporción? Esto se relaciona con esta pregunta porque está usando esto aquí y lo que hace demuestra que esta notación para la integral es muy útil, ya que le permite hacer este tipo de manipulaciones "incompletas" que todos hacemos tratando derivadas como fracciones en la integral cuando haciendo sustituciones y similares y obtener el resultado correcto.

Respuestas (2)

El significado de dxdxdx en una integral indefinida

Debo decir que este es un análisis muy lógico y metódico para alguien que nunca antes ha hecho una prueba. Así es como los profesionales esbozan sus ideas antes de intentar hacer agujeros o probar casos de ellas.
Eso es bastante bueno. Cada vez que tengo problemas para entender $d-$ no sé qué, lo pongo encima $dt$ para convertirla en una función derivada y poner $dt$ junto a él. Parece funcionar para tratar con diferenciales en general. Reduzca todo al mismo caso simple si es posible.
Estoy convencido de que las integrales indefinidas como un todo son solo una peculiaridad notacional que significa "antidiferenciar". Solo pretende verse como una integral definida porque el teorema fundamental del cálculo nos dice que las dos operaciones están estrechamente relacionadas. Por supuesto, eso no es demasiado decir que el significado no se puede imponer $dx$ en una integral indefinida. Solo que eso no es algo que me preocupe personalmente.
Siempre puedes ver una integral indefinida como una integral definida con un límite inferior no especificado. $F(x)=\int^x f(y)dy$ es la integral indefinida de $f(x)$ .
Si $u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ entonces $v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , mientras $\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . El número de $\mathrm{d}$ s siempre es igual al número de $\int$ s.
Pregunta relacionada: es $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ no es una proporción? Esto se relaciona con esta pregunta porque está usando esto aquí y lo que hace demuestra que esta notación para la integral es muy útil, ya que le permite hacer este tipo de manipulaciones "incompletas" que todos hacemos tratando derivadas como fracciones en la integral cuando haciendo sustituciones y similares y obtener el resultado correcto.

epi163sqrt · Answer 1

Se da una explicación en la sección 2.9 Teoremas fundamentales del cálculo en Introducción al cálculo y análisis I por R. Courant y F. John.

Es bastante habitual utilizar una notación que no es perfectamente clara sin comentarios: escribimos
$\begin{aligned} F (X) = \int F (X) d X \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{F(x) = \int f(x)\,dx} \end{align*}$ cuando queremos decir que la función $F(x)$ es de la forma $\begin{aligned} F (X) = C + \int_{a}^{X} F (tu) d tu \end{aligned}$ $\begin{align*} F(x) = c + \int_a^xf(u)\,du \end{align*}$ para constantes adecuadas $c$ y $a$ , es decir, omitimos el límite superior $x$ , el límite inferior $a$ y la constante aditiva $c$ y usa la letrapara la variable de integración.

Estrictamente hablando, por supuesto, hay una ligera inconsistencia en usar la misma letra para la variable de integración y el límite superior $x$ cual es la variable independiente en $F(x)$ . Al usar la notación $\int f(x)\,dx$ nunca debemos perder de vista la indeterminación relacionada con él, es decir, el hecho de que el símbolo siempre denota una de las funciones primitivas de $f$ solo. La formula $F(x) = \int f(x)\,dx$ es solo una forma simbólica de escribir la relación
$\begin{aligned} \frac{d}{d X} F (X) = F (X) . \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{\frac{d}{dx}F(x)=f(x)}. \end{align*}$

GEdgar · Answer 2

Observación
En matemáticas puede ser que " $\int$ " y " $dx$ " se consideran corchetes, que encierran el integrando:

\int F (X) d X

$\int f(x)\;dx$ En física puede ser que "

\int d x

$\int dx$ " se usa como operador, por lo que precede al integrando:

\int d X F (X)

$\int dx \;f(x)$

El significado de dxdxdx en una integral indefinida

Andrexema

ninad mushi

roberteltutor

Arturo

hierba steinberg

JG

invierno

Respuestas (2)

epi163sqrt

GEdgar

Cristóbal

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Evaluar la integral indefinida ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ derecha)\!dx

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

¿Cómo puedo integrar ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx }?

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?