Normalización de la solución a la ecuación de Schrödinger de partículas libres

Question

Normalización de la solución a la ecuación de Schrödinger de partículas libres

Minethlos

Tengo la ecuación de Schrödinger de partículas libres unidimensional

\begin{matrix} (1) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, t), \end{matrix}

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (x,t), \tag{1}$

con solución general

\begin{matrix} (2) & ψ (X, t) = A {mi}^{i (k X - ω t)} + B {mi}^{i (- k X - ω t)} . \end{matrix}

$\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}. \tag{2}$

Espero que la solución esté normalizada:

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X, t) |^{2} d X = 1. \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^2 dx = 1. \tag{3}$

Pero

\begin{matrix} (4) & | ψ (X, t) |^{2} = ψ (X, t) ψ^{*} (X, t) = A^{2} + B^{2} + A B ({mi}^{2 i k X} + {mi}^{- 2 i k X}), \end{matrix}

$|\psi(x,t)|^2 = \psi(x,t)\psi^* (x,t) = A^2 + B^2 + AB ( e^{2ikx} + e^{-2ikx} ), \tag{4}$

y la integral diverge:

\begin{matrix} (5) & \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X, t) |^{2} d X = \frac{A B}{2 i k} ({mi}^{2 i k X} - {mi}^{- 2 i k X}) |_{- \infty}^{\infty} + (A^{2} + B^{2}) X |_{- \infty}^{\infty} . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^2 dx = \frac{AB}{2ik} (e^{2ikx} - e^{-2ikx})\biggl|_{-\infty}^\infty + (A^2+B^2) x\biggl|_{-\infty}^\infty. \tag{5}$

¿Cuál es la razón para esto? ¿Se puede corregir?

ryan unger

No se puede normalizar una onda plana.

jamals

Hay estados que no se pueden normalizar, esto es perfectamente normal. Si desea una normalización, deberá restringir el dominio a un intervalo finito.

Respuestas (5)

Normalización de la solución a la ecuación de Schrödinger de partículas libres

Hay estados que no se pueden normalizar, esto es perfectamente normal. Si desea una normalización, deberá restringir el dominio a un intervalo finito.

Ján Lalinský · Answer 1

Las ecuaciones de Schroedinger pueden tener soluciones tanto normalizables como no normalizables. La función

\begin{matrix} (2) & ψ_{k} (X, t) = A {mi}^{i (k X - ω t)} + B {mi}^{i (- k X - ω t)} . \end{matrix}

$\psi_k(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}. \tag{2}$

es una solución de la ecuación de Schroedinger de partículas libres para cualquier $k$ y $\omega = |k|/c$ .

Como regla, si la ecuación tiene una clase de soluciones parametrizadas por parámetro continuo ( $k$ ), estas soluciones no son normalizables al espacio infinito.

Uno de los propósitos de la función de onda es usarla para calcular la probabilidad de configuración a través de la regla de Born; la probabilidad de que la partícula descrita por $\psi$ posee $x$ en el intervalo $(a,b)$ de la línea es

\int_{a}^{b} | ψ (X) |^{2} d X .

$\int_a^b|\psi(x)|^2\,dx.$

Para que esto funcione, $\psi$ tiene que ser tal que tenga integral finita

\int_{S} | ψ (X) |^{2} d X

$\int_S |\psi(x)|^2\,dx$

donde $S$ es región donde no desaparece.

La onda plana (o la suma de tales ondas) no se puede normalizar para $S=\mathbb R$ (o versiones de mayor dimensión del espacio infinito completo), pero se puede normalizar para intervalos finitos (o regiones del espacio de configuración que de manera similar tienen un volumen finito).

Las personas lidian con esta situación de varias maneras:

en lugar de $\mathbb R$ , describen el sistema mediante funciones que están limitadas a una caja imaginaria de tamaño finito, por lo que todas las funciones regulares son normalizables (las distribuciones delta seguirán siendo no normalizables incluso allí). Se supone que el tamaño exacto de la caja es muy grande, pero casi nunca se fija en un valor definido, porque se supone que, a medida que se expande a un tamaño mayor, su influencia en el resultado se vuelve insignificante.
retenga el espacio infinito, pero use solo funciones normalizables para calcular la probabilidad (nunca use una función no normalizable con la regla de Born);
retenga el espacio infinito, retenga las ondas planas, use el formalismo de Dirac y sea consciente de sus inconvenientes. Nunca trabaje con $\langle x|x\rangle$ como con algo sensato, no pienses $|x\rangle$ , $|p\rangle$ representan estados físicos (la gente los llama estados para simplificar el lenguaje), tenga en cuenta que $\langle x|$ es un funcional lineal que se introduce para actuar sobre algún ket, no una notación de reemplazo para $\psi^*$ .

Tengo una pregunta sobre la normalización de la caja. Si ponemos la partícula en una caja, ¿no significaría eso que la ponemos dentro del pozo de potencial infinito? Si es así, muchas ondas planas no satisfacen las condiciones de contorno. Si no, ¿significa que podemos considerar ondas planas pero en un dominio finito? ¿Cómo se justifica esto?
Sí, caja es una expresión corta para pozo de potencial infinito. Onda plana $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ de hecho no satisface la condición de contorno $\psi(wall)=0$ , solo satisface la ecuación de Schr. Esto significa que ninguna onda plana puede describir una partícula en tal situación. Su significado es puramente matemático; uno puede usarlo para expresar la verdadera solución del problema, típicamente como una combinación lineal de las ondas planas. Tal combinación lineal se puede hacer para satisfacer las condiciones de contorno, incluso si la onda plana individual no lo hace.
Si está interesado, estaba investigando sobre este asunto y descubrí que hay una normalización de caja con condiciones de contorno periódicas (no las condiciones de contorno más estrictas del pozo infinito). Esto ayuda con el hecho de que las soluciones de ondas planas ahora son válidas.

Sofía · Answer 2

Las soluciones de tipo $e^{i(kx - \omega t)}$ (los llamados componentes de Fourier) no son normalizables a 1. Sin embargo, se usan ampliamente en la teoría cuántica. Están normalizados (expresión bastante impropia) para $\delta$ Dirac,

\begin{matrix} (i) & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i (k^{'} X - ω^{'} t)} {mi}^{- i (k X - ω t)} d X = d (k - k^{'}) {mi}^{i (ω - ω^{'})} . \end{matrix}

$\frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k'x - \omega' t)}e^{-i(kx - \omega t)} dx = \delta (k - k') e^{i(\omega - \omega')}. \tag{i}$

(Normalmente $\omega$ es función de $|k|$ S t $\delta (k - k') e^{i(\omega - \omega')}$ se convierte $\delta (k - k')$ .)

Pero no te preocupes, los componentes de Fourier son una idealización, no existen en la naturaleza. Lo que sí existen son paquetes de ondas , de longitud finita y normalizables a 1. Podemos representarlos como

\begin{matrix} (ii) & \int_{- \infty}^{+ \infty} F (k) {mi}^{- i (k X - ω t)} d k . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(k) e^{-i(kx - \omega t)} dk. \tag{ii}$

Cuando el paquete de ondas tiene una distribución muy estrecha de $k$ valores, entonces también es muy largo, y en algunos casos podemos permitirnos aproximarlo por un componente de Fourier.

mmesser314 · Answer 3

Las otras respuestas son correctas. Pero es posible que desee obtener una idea de por qué la onda plana no es normalizable, pero sigue siendo útil.

La solución general es una superposición de componentes de la forma $\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{i(-kx-\omega t)}$ . Cada componente tendrá una diferente $k$ y $\omega$ .

Un solo componente es una distribución uniforme en todo el espacio. La probabilidad de encontrar la partícula en algún lugar de todo el espacio es 1, pero infinitesimal en cualquier intervalo finito. Como encontró, para normalizar esta solución, la amplitud debe ser infinitesimal.

Si combina dos componentes, la distribución de probabilidad no es uniforme. Las funciones de onda son ondas con fases. Ellos interfieren. La probabilidad es mayor donde se refuerzan y menor donde se cancelan.

Con dos o más componentes, aún obtendrá una función periódica no normalizable. Pero es posible hacer que la suma sea un tren periódico de paquetes de ondas, donde la amplitud es aproximadamente 0 fuera de los paquetes. Puede hacer que la integral sobre un solo paquete sea 1 con amplitudes de componentes finitas. Pero la integral sobre toda la onda sigue siendo infinita.

Al agregar más y más componentes con k cada vez más cerca, puede distribuir los paquetes más y más lejos. Mientras lo hace, la amplitud de cada componente debe hacerse más pequeña.

Llevando esto al extremo, puede distribuir los paquetes infinitamente separados agregando una suma infinita de componentes con k separadas infinitesimalmente. La amplitud de cada componente es infinitesimal, pero tienes un número infinito de ellos. Si suma (integra) las amplitudes en un rango pequeño de k, la suma es finita.

La función de onda generada por esta suma de componentes es un único paquete de onda normalizado.

fénix87 · Answer 4

fénix87

No hay nada de malo en esto, ya que la solución a esta ecuación no vive en el espacio de Hilbert. Es decir, no existe una solución de vector propio para la ecuación de partículas libres ya que el hamiltoniano tiene solo una parte continua en su espectro. Lo mejor que puede hacer si quiere apegarse al espacio de Hilbert es encontrar una secuencia de vectores que parezcan aproximadamente vectores propios. Alternativamente, tendrá que enriquecer su espacio de Hilbert incluyendo distribuciones, como se describe en la teoría de los espacios de Hilbert amañados .

yuggib

La solución del problema de Cauchy (ecuación de Schrödinger)

i \partial_{t} ψ (t) = - Δ ψ (t)

$i\partial_t \psi(t)=-\Delta\psi(t)$ ,

ψ (0) = ψ_{0}

$\psi(0)=\psi_0$ en

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ es único y bien conocido (porque el

- Δ

$-\Delta$ es autoadjunto):

ψ (t) = e^{i t Δ} ψ_{0}

$\psi(t)=e^{it\Delta}\psi_0$ . No hay, en este caso, tanta necesidad de abogar por vectores propios generalizados y teoría espectral ;-)

Neuneck · Answer 5

Las soluciones de ondas planas a la ecuación de Schrödinger no son normalizables porque se extienden hasta el infinito con una amplitud constante. Sin embargo, cualquier partícula física estará restringida a un espacio finito (al menos al universo visible), por lo que debe observar las superposiciones de ondas planas. Esto significa que su punto de partida es

ψ (X, 0) = \int d k \tilde{ψ} (k) {mi}^{i (k X - ω \cdot 0)}

$\psi(x, 0) = \int \mathrm dk \tilde \psi(k) e^{i( k x- \omega\cdot 0)}$ donde

ψ (k)

$\psi(k)$ es alguna función con un ancho finito . La situación de onda plana se cubre tomando

\tilde{ψ} (k) = δ (k - k^{'})

$\tilde \psi(k) = \delta(k-k')$ .

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Ján Lalinský

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