¿Por qué el nivel de energía n=3n=3n=3 de los pozos de potencial de la mecánica cuántica aparece "al revés"?

Mi libro de texto de QM muestra cifras como esta para los pozos de potencial infinito y finito:

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La solución uniforme para el pozo finito (que se aplica a las curvas superior e inferior de la figura de la derecha) se da como

ϕ mi v mi norte ( X ) = { A mi q X X < − a D porque ⁡ ( k X ) − a ≤ X ≤ a A mi − q X X > a

dónde − a y a son los límites de la caja (con el pozo centrado en cero). Los detalles de las constantes. k y q son irrelevantes para mi pregunta.

Lo que me pregunto es, ¿por qué la curva n=3 aparentemente está al revés en el dominio − a ≤ X ≤ a ? La curva superior de la figura ( norte = 3 ) implica que D < 0 , pero la curva inferior ( norte = 1 ) implica que D > 0 ...

E, incluso si este desacuerdo se reconciliara de alguna manera, terminaría con exactamente el mismo problema fuera de los límites del pozo con un desacuerdo en el parámetro de normalización. A .

Entiendo que nada de esto hace ninguna diferencia en las probabilidades reales, ya que se encuentran mediante la función de densidad. | ψ ( X ) | 2 . Pero aún así, esto no funcionará. ¿Las figuras están dibujadas de manera un poco informal o me faltan algunos detalles matemáticos?

Enfócate en el pozo infinito. He aquí las n=1,3,5,7,9 soluciones en el centro del pozo, x=0.
@CosmasZachos Veo exactamente el mismo problema allí. Las soluciones pares para el pozo infinito son ϕ norte ( X ) = 2 2 a porque ⁡ norte π X 2 a . La constante de normalización aquí es positiva, pero eso no es lo que el norte = 3 muestra la función de onda.
¿ Por qué una D alterna es un "problema"? ¿Qué parte de su solución dictó su signo?
@CosmasZachos Ninguna parte de la solución dictó la señal. Pero un número tiene que ser positivo o negativo. Simplemente no me gustó la ambigüedad.

Respuestas (2)

Los diferentes niveles de energía tienen diferentes valores de A y D . En la segunda solución par, el signo relativo es diferente al primero.

¿Mi libro parece implicar que las constantes de normalización no cambian por nivel de energía? En el caso del pozo infinito, la constante A se declara explícitamente que siempre será 2 / 2 a . E incluso con el pozo infinito, veo este mismo problema en el norte = 3 curva
@jpholowed La situación es diferente para el pozo infinito; en ese caso A pasa a ser el mismo para cada nivel de energía. Sin embargo, siempre puede reemplazar A con A mi i θ y obtienen el mismo estado, por lo que para el tercer estado propio, eligieron graficar con A negativo.
En el pozo finito ambos A y D cambiar. Al cambiar los signos generales, siempre puede obtener D positivo si quieres. Sin embargo, no puedes obtener ambos A y D siempre positivo, porque los valores de A / D realmente son diferentes entre los diferentes estados.
entonces la verdadera respuesta a mi pregunta es lo que mi profesor ha estado reiterando; la fase general de un estado o función de onda no importa, ya que tiene que ver con el cuadrado absoluto, que usamos para las probabilidades. Siempre que se conserven las fases relativas entre estados

Tenga en cuenta que ha expresado la función de onda como si el pozo discurriera desde [ − L / 2 , L / 2 ] , pero a menudo se resuelve formalmente en un conjunto de coordenadas donde el pozo corre desde [ 0 , L ] .

La expresión "natural" de la solución depende de cómo etiquete el dominio. En el último caso, todas las soluciones son senos para los pozos infinitos (y podrían describirse razonablemente como "similares a senos" en pozos finitos profundos), por lo que esperaría que subieran en el borde izquierdo.

Pero podría ser seno negativo , y creo que esa es la naturaleza de la pregunta.
Bueno sí. Pero al igual que el OP, tengo preferencias en términos de cómo configuro las cosas. Está diciendo "si la solución está escrita en términos de coseno, espero que sea positiva en cero cuando no hay una razón objetiva para hacerlo de otra manera" . Eso es puramente una cuestión estética, por supuesto, pero una fracción sorprendentemente grande de personas haría la misma elección. Lo que estoy diciendo aquí es que hay una estética diferente que se aplica si etiqueta el dominio de manera diferente. Y la mayoría de los tratamientos elementales que veo usan el [ 0 , L ] etiquetado de dominio. También puedes arreglar el letrero en cualquiera de los extremos y eso fuerza tu mano.
@dmckee Si esto es todo lo que hay en la respuesta, ¿es correcto decir que la figura simplemente se dibuja de manera un poco casual? De hecho, tiene razón en que usar el dominio [ 0 , L ] y expresar la solución como curvas sinusoidales elimina el problema que planteo. Mi libro usó ese dominio para el pozo infinito, y cambió cuando abordaron el pozo finito (por conveniencia). Sin embargo, incluso cuando vuelven a resolver el pozo infinito bajo este nuevo dominio, la solución no coincide por completo con la figura.
@jpholowed Francamente, creo que le estás dando a tu perfeccionista interior un poco más de ventaja de lo que sería una buena idea. Ciertamente conozco la sensación, la mía es bastante insistente, pero esto no vale mucho de tu tiempo. Un boceto dibujado a mano torcido es suficiente para señalar la característica interesante del problema y sus soluciones, por lo que estos son lo suficientemente buenos. Claro, llámalos casuales si lo deseas.
@dmckee Tienes razón. Entiendo la física y las matemáticas de todos modos. Gracias amigo
¿Por qué el nivel de energía n=3n=3n=3 de los pozos de potencial de la mecánica cuántica aparece "al revés"?
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