¿Cómo puedo probar que la función de onda permanece normalizada a medida que pasa el tiempo?

Para todos los propósitos prácticos en física, la existencia de$\int_V |\Psi|^2dV$viene con$\Psi(x,t)$va a 0 como$\|x\|$va a$+\infty$mientras que las derivadas espaciales permanecen acotadas. Por lo tanto, su última integral va a 0.

Como señaló Valter Moretti en los comentarios, es fácil construir un$\Psi$tal que$\int_{\mathbb{R}^3} |\Psi|^2dV$es finito pero$\Psi$va al infinito como$\|x\|$va a$+\infty$. Ya es posible hacer eso en 1D. Vea esta pregunta en Preguntas y respuestas de Matemáticas y el puñado de respuestas para tener una idea, luego combínela con este truco para obtener funciones fluidas. Sacudir y desesperar en Matemáticas... Afortunadamente, resulta que los físicos hemos logrado ignorar con seguridad estos problemas sin una reacción negativa significativa.

La respuesta de @ LucJ.Bourhis proporciona la información necesaria de por qué$\oint_S \rightarrow 0$como el tamaño de$S\rightarrow \infty$. Dicho más concretamente, examine la integral de normalización en coordenadas esféricas:

$$N\equiv\int |\Psi|^2 r^2\sin\theta \operatorname{d} r \operatorname{d}\theta \operatorname{d}\phi.$$ Para poder $N$ser finito, $\lim_{r\rightarrow\infty} r^{3+\epsilon} |\Psi|^2 = 0$para algunos $\epsilon > 0$(es decir, el argumento de la integral radial tiene que desaparecer más rápido que $1/r$). Si examina los componentes del gradiente de $|\Psi|^2$(igual al argumento de $\oint_S$por la regla del producto) encontrará que se desvanece como al menos la derivada del límite superior en $|\Psi|^2$. Con el límite superior en $|\Psi|^2$ser $\propto r^{-3-\epsilon}$, entonces el límite superior de $\left|\partial_r |\Psi|^2\right|$es $\propto r^{-4-\epsilon}$. Esta pregunta en math.stackexchange es relevante para determinar si esta prueba es sólida.

Explicar por qué las componentes angulares son irrelevantes se deja como ejercicio.

Para un sistema con hamiltoniano$\hat H$, la evolución temporal de un estado arbitrario$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$se rige por

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \hat H |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle \tag{1}\label{SE}.$$

Podemos tomar el adjunto de la Ec.$\eqref{SE}$y se lee

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| = \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| \hat H \tag{2}\label{adjSE}.$$

Tenga en cuenta que asumimos que el hamiltoniano es hermitiano, por lo tanto, en el lado derecho de la ecuación.$\eqref{adjSE}$,$\hat H^ \dagger$fue reemplazado por$\hat H$.

Ahora llegamos a la pregunta original, a saber, la evolución temporal de la normalización.$\mathcal{N}(t) := \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$de la función de onda. Por lo tanto, nos gustaría evaluar la siguiente cantidad:

$$\mathcal{\dot N}(t) = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle.$$

Procedemos como

$$\begin{align} \mathcal{\dot N}(t) & = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = \left(\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\left(\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\left(\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \mathrm{Using~Eqs. \eqref{SE} \& \eqref{adjSE}} \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \frac{1}{i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = 0. \end{align}$$

Dado que la derivada temporal de la normalización es cero , la normalización permanece constante en el tiempo.

Cosas a tener en cuenta:

• Para que la normalización sea independiente del tiempo, se requiere una evolución temporal unitaria de los estados$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$, a saber $$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \mathcal{U}\left(t,t'\right)|\Psi\left(\textbf{r},t'\right)\rangle.$$
• Para$\mathcal{U}\left(t,t'\right)$ser operador unitario de la forma $$\mathcal{U}\left(t,t'\right) = \exp\left(-i\hat H (t-t')/\hbar\right),$$ uno requiere$\hat H$ser hermitiano.
• La razón fundamental para que los estados permanezcan normalizados en una evolución temporal tipo Schrödinger es la hermiticidad del hamiltoniano. Sin embargo, hay situaciones en las que los estados pueden permanecer normalizados bajo la evolución del tiempo para hamiltonianos que no son hermitianos. Sin embargo, la independencia temporal de la normalización está garantizada para una evolución temporal unitaria, es decir, para un hamiltoniano hermitiano, bajo la ecuación de tipo Schrödinger.