¿Quién consideró por primera vez el fff en f(x)f(x)f(x) como un objeto en sí mismo, y quién decidió llamarlo función?

Question

¿Quién consideró por primera vez el fff en f(x)f(x)f(x) como un objeto en sí mismo, y quién decidió llamarlo función?

Michael Bachtold

La pregunta está en el título, pero permítanme proporcionar algunos antecedentes.

Soy consciente de que Leibniz introdujo la palabra "función" en las matemáticas (alrededor de 1673) y que Johann Bernoulli o Euler introdujeron la notación $f(x)$ (a veces entre 1706-1740). También he leído el artículo de Wikipedia sobre la Historia del concepto de función y el libro Die Analysis im Wandel und im Widerstreit de Spalt, además de algunas otras fuentes sobre la historia de las funciones. Pero no he encontrado la siguiente dirección:

Mirando las definiciones* y los usos de la palabra función entre los matemáticos hasta principios del siglo XX, veo que consistentemente llaman $y$ la función. Por $y$ me refiero al que esta en $y=f(x)$ . Equivalentemente se llaman $f(x)$ la función. en realidad llaman $y$ una función de $x$ , pero finalmente abandonan el "de $x$ ” cuando es claro por el contexto o irrelevante para la discusión. Ninguno de ellos nunca consideró $f$ como un objeto matemático en sí mismo.

Esto está en marcado contraste con la definición moderna, que llama $f$ la función, la describe como una regla o similar, y llama oficialmente $f(x)$ algo más (como la salida de la función en la entrada $x$ etc.).

El primer matemático que pude encontrar para distinguir claramente entre $f$ y $f(x)$ , con una definición similar a las modernas, fue Cantor en 1895. Pero para mi sorpresa no llamó $f$ una función sino una “Belegung” (asignación). Aquí está mi traducción de lo que escribió en Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I , 1895, p.486:

Por una asignación del conjunto $N$ con elementos del conjunto $M$ ' o simplemente dicho, por una ,asignación de $N$ con $M$ ' entendemos una ley, a través de la cual con cada elemento $n$ de $N$ está conectado un cierto elemento de $M$ , donde uno y el mismo elemento de $M$ se puede usar repetidamente.

El ingenio $n$ elemento conectado de $M$ es hasta cierto punto una función única de $n$ y se puede denotar con $f(n)$ ; se llamará función de asignación de $n$ ' ; la asignación correspondiente de $N$ será llamado $f(N)$ .

Dos asignaciones $f_{1}(N)$ und $f_{2}(N)$ se llaman iguales si y sólo si, para todos los elementos $n$ de $N$ la ecuacion
$F_{1} (norte) = F_{2} (norte),$ $f_{1}(n) = f_{2}(n),$ se cumple, de modo que si para un solo elemento fijo $n=n_{0}$ la ecuacion no se cumple $f_{1}(N)$ y $f_{2}(N)$ se caracterizan por diferentes asignaciones de $N$ .

[ $\ldots$ ]

La totalidad de todas las diferentes asignaciones de $N$ con $M$ determina un conjunto con los elementos $f(N)$ ; lo llamamos el conjunto de asignaciones de $N$ con $M$ ' y lo denotamos con $(N\mid M)$ . Por eso:
$(norte ∣ METRO) = {F (norte)} .$ $(N\mid M)=\{ f(N) \}.$

Observe que mantiene el significado tradicional de la palabra función, por lo que tiene mucho sentido dar $f$ (o como escribe $f(N)$ ) un nuevo nombre.

Dos preguntas:

¿Fue Cantor la primera persona en tratar $f$ como un objeto en sí mismo y distinguirlo de $f(x)$ ? En otras palabras, ¿fue Cantor el primero en dar la definición moderna de función?
¿Cuándo y por qué se convirtió en estándar llamar $f$ una función, a pesar del uso establecido de la palabra para $f(x)$ (y a pesar de que Cantor llama $f$ algo más)?

_{* Varias de estas definiciones históricas se pueden encontrar al final de la siguiente pregunta de MO: ¿ Formalizaciones de la idea de que algo es una función de otra cosa? .}

François Ziegler

¿Estás seguro de que 1895 es la primera aparición en Cantor?

Michael Bachtold

No, no estoy seguro. Encontré esa cita de Cantor en el libro de Spalts, pero no he buscado sistemáticamente las obras de Cantor.

franz kurz

Cantor creó el término "Belegungsmenge" en 1895. Además de su aparición en su artículo de 1895, Cantor explica el término a Klein en una carta del 17 de julio de 1895.

Michael Bachtold

@FrancoisZiegler: Hice una búsqueda en PDF de Cantors Gesammelte Abhandlungen, y aparentemente las palabras Belegung y Abbildung aparecen por primera vez en el artículo de 1895.

Dave L Renfro

No es una respuesta, pero en caso de que esté interesado en algunas referencias a documentos históricos sobre el desarrollo de la idea de una función, consulte la lista que publiqué aquí .

arena1

"Ninguno de ellos considera f como un objeto matemático en sí mismo". porque nada sobre este 'objeto' es conocido o relevante, excepto la propiedad de tener tales valores. La mayoría de las veces f(x) es "para cualquier x", mientras que la 'salida' sería específicamente f(x_0).

Michael Bachtold

@sand1 según su suposición, ¿podría explicar qué se volvió conocido o relevante sobre

f

$f$ alrededor de 1900, que no se sabía antes, y que causan

f

$f$ ser considerado de repente uno de los objetos más centrales de las matemáticas?

Respuestas (2)

¿Quién consideró por primera vez el fff en f(x)f(x)f(x) como un objeto en sí mismo, y quién decidió llamarlo función?

¿Estás seguro de que 1895 es la primera aparición en Cantor?
No, no estoy seguro. Encontré esa cita de Cantor en el libro de Spalts, pero no he buscado sistemáticamente las obras de Cantor.
Cantor creó el término "Belegungsmenge" en 1895. Además de su aparición en su artículo de 1895, Cantor explica el término a Klein en una carta del 17 de julio de 1895.
@FrancoisZiegler: Hice una búsqueda en PDF de Cantors Gesammelte Abhandlungen, y aparentemente las palabras Belegung y Abbildung aparecen por primera vez en el artículo de 1895.
No es una respuesta, pero en caso de que esté interesado en algunas referencias a documentos históricos sobre el desarrollo de la idea de una función, consulte la lista que publiqué aquí .
"Ninguno de ellos considera f como un objeto matemático en sí mismo". porque nada sobre este 'objeto' es conocido o relevante, excepto la propiedad de tener tales valores. La mayoría de las veces f(x) es "para cualquier x", mientras que la 'salida' sería específicamente f(x_0).
@sand1 según su suposición, ¿podría explicar qué se volvió conocido o relevante sobre $f$ alrededor de 1900, que no se sabía antes, y que causan $f$ ser considerado de repente uno de los objetos más centrales de las matemáticas?

François Ziegler · Answer 1

Cantor 1895 es anterior al menos a Dedekind en §2 de Was sind und was sollen die Zahlen? (1888) ( traducción ):

21. Erklärung *). Unter einer Abbildung $\varphi$ eines sistemas $S$ wird ein Gesetz verstanden, nach welchem zu jedem bestimmten Element $s$ Von $S$ ein bestimmtes Ding gehört , welches das Bild von $s$ heißt und mit $\varphi(s)$ alambre bezeichnet; wir sagen auch, daß $\varphi(s)$ Elemento dem $s$ entspricht , daß $\varphi(s)$ durch die Abbildung $\varphi$ aus $s$ entsteht oder erzeugt wird.

*) Vergl. Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet , dritte Auflage, 1879, §. 163 .

(La nota al pie se refiere a un suplemento en la edición de Dirichlet de Dedekind .) Además, Dedekind en §11 distingue claramente entre un mapa $\psi$ y lo que todavía llama la función $\psi(n)$ determina :

135. Erklärung. Es liegt nahe, die im Satze 126 dargestellte Definición einer Abbildung $\psi$ der Zahlenreihe $N$ oder der durch dieselbe bestimmten Funktion $\psi(n)$ auf den Fall anzuwenden, wo ( $\ldots$ )

Editar: a sus dos preguntas,

La atribución a Dedekind 1888 parece confirmada por W. Sieg y D. Schlimm, Dedekind's Abstract Concepts: Models and Mappings , Philosophia Mathematica nku021 (2014) 1-26 . También citan un borrador anterior de 1872-78, donde Dedekind escribió $x\,|\,f$ en lugar de $f(x)$ .
No sé quién (más bien desafortunadamente, diría) suprimió su cuidadosa distinción entre Abbildung (mapeo, aplicación, "Maler", $f$ ) y Funktion (función, función, "Imagen", $f(x)$ ). Quizás von Neumann ( 1925 , pp. 222, 223 ):

( $\ldots$ ) aus einer Funktion $f$ (Die von ihren Werten $f(x)$ wohl zu unterscheiden ist!) und einem Argumente $x$ den Wert $f(x)$ la función $f$ para el argumento $x$ zu bilden. ( $\ldots$ ) $\mathfrak M$ sei eine menge, $f(x)$ eine (en $\mathfrak M$ definierte) Función.

o más influyente van der Waerden en Moderne Algebra ( 1930, §2, §6, §9 ):

Wenn durch irgend eine Vorschrift jedem Element $a$ einer Menge $\mathfrak M$ ein einziges neues Objekt $\varphi(a)$ zugeordnet wird, así que nennen wir diese Zuordnung eine Funktion ( $\ldots$ ) Hombre nennt eine solche Zuordnung ( $\ldots$ ) auch eine (eindeutige) Abbildung der Menge $\mathfrak M$ auf die Menge ( $\ldots$ ) ist $\varphi$ eine eineindeutige Abbildung ( $\ldots$ ) Función eine solche $\varphi$ regalos ( $\ldots$ )

¿Es correcto mi entendimiento de que el suplemento de 1879 fue escrito por Dedekind, que define Abbildungen ya allí, aunque no escribe $\phi(\omega)$ pero sólo $\omega'$ ? Además, en el suplemento, no hizo explícita la relación entre Abbildungen y Funktionen? Entonces no llama $n'$ una función de $n$ , ni dice que el $f$ de una función $f(x)$ es un mapa?
Sí, creo que eso es exactamente. Después de 1888, Dedekind nombra muchos mapas ( $f$ ) y muchas funciones ( $y=f(x)$ ), pero el $\psi(n)$ La cita anterior es el único lugar donde lo he visto relacionar ambos al mismo tiempo. Tales citas de cualquiera parecen difíciles de encontrar; una sería de CS Peirce, es un artículo de diccionario de 1911 donde propone traducir Abbildung mediante imágenes : "Cualquier función matemática de una variable puede considerarse como una imagen de su variable de acuerdo con algunos modo de imagen".
Me preguntaba si la terminología "Maler" para mapa es algo que hayas visto en la literatura de esa época.
@MichaelBächtold No lo vi en nada publicado en ese momento. Sieg-Schlimm cita abbildende Maler vs. Bild de una carta de Dedekind (1890) impresa en Sinaceur ( 1974 , p. 276).
Pero ¿qué pasa con Dirichlet? ¿No usó un símbolo para denotar una función cuando definió una función como una regla que asocia, etc.?
@MikhailKatz Por cita de wiki vinculada en la pregunta, Dirichlet llamó $y$ , no $f$ , la función.
@MikhailKatz agregando al comentario de Francois: Dirichlet sí habla de reglas (Gesetze) que describen la dependencia de $y$ de $x$ , y también usa el símbolo $f$ (pero sólo en la combinación $f(x)$ ). Pero nunca parece identificar explícitamente $f$ con estas "reglas", ni da $f$ un nombre.

Michael Bachtold · Answer 2

Respuesta 2: Tal vez la idea de llamar $f$ la función se remonta a Frege? En Was ist eine Funktion? Festschrift Ludwig Boltzmann (1904, pp. 656-666) encontramos en la p. 663:

Und haben wir hier nicht das, was wir suchen, die Funktion? También wird auch » $f$ « genaugenommen eine Funktion andeuten.

Mi traducción: "¿Y no tenemos aquí lo que estamos buscando, la función? Por lo tanto también » $f$ «significará estrictamente hablando una función».

Todo el artículo es una lectura muy interesante, ya que Frege también intenta responder a las preguntas "¿Qué es una cantidad variable?" (concluye que no pertenecen a las matemáticas), "¿Qué es un número indeterminado?" (concluye que no hay ninguno) y aborda la distinción entre $f(x)$ como una expresión sintáctica (un término), versus $f(x)$ como una entidad semántica (la cantidad variable). No estoy de acuerdo con todos sus argumentos, pero es fascinante ver cómo él solo demuele conceptos que habían sido una parte integral de las matemáticas durante 200 años.

Agregado más tarde: En los comentarios, Francois hace la observación relevante, que Lagrange llamó $f$ la característica de la función $f(x)$ . Uno también encuentra esto en Johann Bernoulli (en Remarques sur ce qu'on a donné jusqu'ici de solutions des Problemes sur les isoperimetres , 1718, p. 243) y Euler (en Sur la vibration des cordes , 1748, p. 78) .

Interpreto esto de manera similar a Francois: $f$ está siendo tratado simplemente como un signo, que podría ayudarnos a distinguir dos funciones, digamos $f(x)$ y $g(x)$ . Pero $f$ aún no se consideraba como un objeto matemático en sí mismo. Por otro lado en Arithmetices Principia de Peano (1889, p. XIII) encontramos:

Dejar $\phi$ ser un signo, o conjunto de signos, tal que si $x$ es una entidad de clase $s$ , la combinación de signos $\phi x$ determina una nueva entidad; supongamos también que la igualdad se define entre las entidades $\phi x$ ; y si $x$ y $y$ son entidades de la clase $s$ , y $x=y$ , suponemos que se puede deducir que $\phi x = \phi y$ . Entonces el signo $\phi$ se dice que es un signo de prefijo para una función en la clase $s$ , y escribimos $\phi \, \backepsilon \, F`s$ .

(Traducción adaptada de la tesis doctoral de Johan Granström .)

Mi interpretación aquí es que Peano sí trata $f$ como un objeto matemático en sí mismo, distinto de $f(x)$ , al igual que sus contemporáneos, Frege, Dedekind y Cantor, sin embargo , llama $f$ un signo para una función , al igual que Bernoulli, Euler y Lagrange.

(Así que me quedo con la sensación de que primero necesito definir con mayor precisión qué significa tratar algo como un objeto matemático , para que mis interpretaciones o incluso mi pregunta tengan sentido. Pero actualmente no puedo proporcionar tal definición.)

...entonces Frege intenta argumentar que está mal hablar de cantidades variables en matemáticas y que $y$ no debe llamarse función, como se ha hecho durante 200 años.
¡Interesante! Sin embargo, siento que lo que él llama función no se ajusta a nuestra "definición moderna" como en Q1 (por ejemplo, como gráfico). De hecho, compare incluso la pregunta del título con lo que literalmente escribe en Function und Begriff ( 1891, p. 19 ): “Los gráficos de funciones son objetos, mientras que las funciones mismas no lo son”.
Lo detalla aún más enérgicamente en Grundgesetze der Arithmetik II ( 1903, §147, nota al pie 2 ): para él, $f(\xi)=g(\xi)$ para todos $\xi$ no implica _ $f=g$ .
Estoy de acuerdo y siento de manera similar que no he entendido completamente lo que él llama una función. Sospecho que un científico informático moderno / teórico de tipos podría interpretarlo mejor. Por ejemplo, la propiedad en su comentario anterior se llama hoy en día extensionalidad de función, y hay teorías de tipos en las que no se cumple. O la distinción de Freges entre "Funktion" y "Werteverlauf einer Funktion" (ver Funktion und Begriff) podría interpretarse como la distinción entre $f$ y $\lambda x. f(x)$ , que se puede identificar si asumimos la Eta-conversión de las Iglesias. Pero (continuación)
...como matemático formado tradicionalmente me siento fuera de mi alcance en estos asuntos.
En cualquier caso, lo que usted dice está precisamente confirmado por la teoría axiomática de conjuntos de Bernays ( 1958, p. 61 ): lo que llamamos función es la cosa extensional que Frege llamó Wertverlauf (= gráfico, en la traducción citada anteriormente) — por lo tanto, no es lo que el mismo Frege llamó función.
Una discusión algo relevante sobre las funciones intensionales/extensionales: mathoverflow.net/questions/156238
@FrancoisZiegler Pero creo que estamos de acuerdo en que distingue claramente entre f (x) y f y en 1904 llama a f la función. Sea lo que sea lo que entendió por f.
Sí, llama a f (y no a f(x)) la función. ¿Ha encontrado a alguien más haciendo esto antes de van der Waerden 1930? Comentario al margen: Lagrange en Mécanique analytique y Théorie des fonctions analytiques también llamaron rutinariamente f (y no f(x)) un nombre: la caractéristique . Pero dudo que haya querido decir mucho más con esto que solo la carta (Buchstabe).
@FrancoisZiegler Todavía no he investigado lo que sucedió entre Frege y van der Waerden. Si tuviera tiempo, probaría con Russell, Peano y las personas que influyeron en van der Waerden. Con respecto a la característica, vea mis ediciones a esta respuesta.
Buena captura de caractéristique en Bernoulli, probablemente la primera, justo después de su famosa definición de "función". @MauroALLEGRANZA también notó esto en la respuesta que vinculó.
Debo agregar que antes de que comenzara a usar caractéristique (aparentemente en 1773 , p. 191), Lagrange era mucho más flexible: por ejemplo, en 1761 uno encuentra tanto la fonction φ(x) o similar (pp. 13, 70, 91, 99, 116 , 119,...), y la función φ (págs. 44, 49, 63, 69-73, 86, 91-92, 95-96, 119, 154, 160,...). Así que esa es una posible respuesta a su Pregunta 2.

¿Quién consideró por primera vez el fff en f(x)f(x)f(x) como un objeto en sí mismo, y quién decidió llamarlo función?

Michael Bachtold

François Ziegler

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