¿Las integrales realmente se llamaban curvas solución (o viceversa)?

Todavía se les llama así en algunos contextos, aunque "curvas integrales" es más común. Si$dy/dx=X(x)$entonces$y$es a la vez una integral de$X$y una solución a la ecuación diferencial. Tal uso dual ya aparece en el Institutionum Calculi Integralis de Euler. Por ejemplo, escribe en §11 (en la traducción de Bruce ):

" Ahora, incluso si aquí solo hay una cantidad variable única$x$aparece, pero de hecho se consideran dos; porque el otro es esa función misma, cuyo diferencial tomamos como$Xdx$; que si designamos con la letra$y$, se convierte$dy=Xdx$o$dy/dx=X$, por lo tanto, como aquí generalmente es la relación de los diferenciales$dy:dx$propuesta, que es igual a$X$, y así se convierte en$y=\int Xdx$. "

Y más adelante en §§36-39 habla de lo que ahora se llama soluciones generales y particulares de ecuaciones diferenciales, pero en el contexto de integrales (ordinarias):

" Por lo tanto, la integral completa abarca todas las integrales particulares dentro de sí misma y, a partir de eso, todas ellas pueden formarse fácilmente. Pero a su vez, a partir de las integrales particulares, la integral general no puede llegar a conocerse. Pero muchas veces, como de ahora en adelante se hace evidente, un método de hallar la integral completa a partir de la integral particular se obtiene ” .

Continúa con este uso dual cuando llega a resolver las ecuaciones diferenciales propiamente dichas, por ejemplo, en §§411-415 el problema de resolver varios ejemplos se establece como: " Encontrar la integral para esta ecuación diferencial propuesta ".