¿Cuál es el significado de infinitesimal?

los numeros reales$\mathbb{R}$es un ejemplo de campo , un espacio donde se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir elementos. Además,$\mathbb{R}$es un ejemplo de un campo ordenado , es decir, para cualquier$a, b \in \mathbb{R}$tenemos cualquiera$a < b$,$a = b$, o$a > b$. Tenga en cuenta que hay algunas condiciones adicionales sobre la interacción entre las desigualdades y las operaciones de campo.

Un infinitesimal positivo en un campo ordenado es un elemento$e > 0$tal que$e < \frac{1}{n}$para todos$n \in \mathbb{N}$. Un infinitesimal negativo es$e < 0$tal que$-e$es un infinitesimal positivo. Un infinitesimal es un infinitesimal positivo, un infinitesimal negativo o cero.

En$\mathbb{R}$sólo hay un infinitesimal, cero - esta es precisamente la propiedad de Arquímedes de$\mathbb{R}$. Entonces, mientras que las personas usan la palabra infinitesimal para transmitir intuición, los números reales no tienen infinitesimales distintos de cero, por lo que su explicación es defectuosa.

En los primeros desarrollos del cálculo por parte de Newton y Leibniz, el concepto de infinitesimal se utilizó ampliamente pero nunca se definió explícitamente. La forma en que esto se ha rectificado a lo largo de la historia es a través de la introducción de límites que todavía capturan la intuición, pero que de hecho están perfectamente definidos.

Cabe señalar que otros campos ordenados tienen infinitesimales distintos de cero. Incluso podría intentar encontrar un campo ordenado que contenga todos los números reales que conoce y ama, pero que también tiene infinitesimales distintos de cero. ¡Tal cosa existe! Abraham Robinson mostró por primera vez que existe un campo tan ordenado en$1960$usando la teoría de modelos, pero en realidad se puede construir usando algo llamado construcción de ultrapoder. Esto se llama el campo de los números hiperreales y se denota${}^*\mathbb{R}$. Con los hiperreales a la mano, puedes tomar todas las ideas que usaron Newton y Leibniz e interpretarlas casi literalmente. El cálculo realizado de esta manera a menudo se denomina análisis no estándar .

En general, es mejor pensar en los infinitesimales como una intuición o motivación que como algo que realmente existe. En la teoría estándar de los números reales, no existe el infinitesimal.

En los primeros días del cálculo, muchas de las ideas se definían en términos de una idea intuitiva de los infinitesimales, pero en el siglo XIX, a medida que las matemáticas se movían cada vez más para asegurarse de que los fundamentos de las matemáticas tuvieran sentido, encontraron problemas con infinitesimales, y una forma de hacer cálculos sin necesidad de los números infinitesimales, y por lo tanto los descartó.

En cálculo, la "idea motivadora" de los infinitesimales permanece en algunas de las notaciones:

Las matemáticas más modernas pueden dar una base rigurosa que incluye infinitesimales. Esto no es estándar y probablemente sea más complicado de lo que necesita.

Los infinitesimales son un producto natural de la imaginación humana y se han utilizado desde la antigüedad, por lo que no los describiría como "impensablemente pequeños". Uno puede pensar en ellos e incluso representarlos gráficamente usando el dispositivo pedagógico de los microscopios, como en el libro de texto clásico de Keisler Elementary Calculus .

En mi experiencia enseñando infinitesimales en el aula, los estudiantes tienden a pensar en los infinitesimales como cantidades que tienden a cero, o en términos de "cantidades variables", como las describieron a menudo los pioneros del cálculo como Leibniz y Cauchy. Esta es una intuición útil que debe fomentarse, pero en última instancia, deben construirse como valores constantes (o como usted dice "estacionarios") si se van a formalizar dentro de un marco matemático moderno.

El "error infinitesimal" al que te refieres parece ser el tipo de técnica que ocurre por ejemplo en el cálculo de la derivada de$y=x^2$, dónde$\frac{\Delta y}{\Delta x}$se simplifica algebraicamente a$2x+\Delta x$y uno está desconcertado por la desaparición de lo infinitesimal$\Delta x$término que produce la respuesta final$2x$; esto se formaliza matemáticamente en términos de la función de parte estándar .

Para responder a su pregunta sobre las aplicaciones de los infinitesimales: son numerosas (consulte el texto de Keisler), pero en lo que respecta a la pedagogía, son una alternativa útil a las complicaciones del épsilon, técnicas delta que se utilizan a menudo para introducir conceptos de cálculo como la continuidad. Las técnicas epsilon, delta implican complicaciones lógicas relacionadas con la alternancia de cuantificadores; Numerosos estudios educativos sugieren que a menudo son un obstáculo formidable para aprender cálculo. Los infinitesimales proporcionan un enfoque alternativo que es más accesible para los estudiantes y no requiere incursiones en complicaciones lógicas necesarias para el enfoque épsilon, delta.

De hecho, ayer hice una encuesta rápida en mi clase de cálculo, presentando (A) una definición épsilon, delta y (B) una definición infinitesimal; al menos dos tercios de los estudiantes encontraron la definición (B) más comprensible.

Para responder al comentario reciente, una diferencia entre nuestro enfoque y el de Keisler es que dedicamos al menos dos semanas a detallar el enfoque épsilon-delta (una vez que los estudiantes ya comprenden los conceptos básicos a través de sus definiciones infinitesimales). Por lo tanto, los estudiantes reciben una exposición significativa a ambos enfoques. Nuestra experiencia educativa y las reacciones de los estudiantes a nuestro enfoque se detallan en esta publicación reciente .

Imagine un número que tiene un valor absoluto más pequeño que el valor absoluto de cualquier número real distinto de cero. Es un número infinitesimal. Así es como lo entiendo.

Creo que las matemáticas modernas en su mayoría se mantienen alejadas de los infinitesimales. Preferimos hablar en términos de límites y en oraciones como, "Para todos los números$\epsilon$, por pequeña que sea, se cumple la siguiente propiedad".

Creo que el análisis no estándar define lo infinitesimal: http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_calculus

Considere el infinito . ¿Es un "valor estacionario"? ¿Dónde está en la recta numérica? El infinito es un concepto. Tiene un valor mayor que cualquier valor que puedas imaginar.

Asimismo, infinitesimal es un concepto; su valor es más pequeño que cualquier valor que puedas imaginar.

Mire este video y apreciará por qué Infinity e Infinitesimal no se pueden "explicar" a alguien que busca encontrar "aplicaciones" / "metodología".