¿Qué problema condujo al descubrimiento del cálculo?

Recuerdas incorrectamente. El cálculo fue descubierto por Arquímedes, Gregorio de San Vicente, Galileo, Kepler, Descartes, Pascal, Cavalieri, Fermat, Barrow, Wallis, Brounker, Huygens, Leibniz, J. Gregory, N. Mercator, Newton, Cotes, Taylor, Torricelli, hermanos Bernoulli, por citar sólo a los más famosos. Como toda gran empresa, ésta era una empresa colectiva.

Los problemas que llevaron a su desarrollo son: encontrar áreas y volúmenes (integración), encontrar tangentes a curvas (derivación), encontrar máximos y mínimos de funciones y funcionales (cálculo de variaciones) y expansión de funciones en series de potencias que se utilizó para resolver ecuaciones diferenciales derivadas de la geometría y la física.

Pero si por "cálculo" solo te refieres a las reglas de diferenciación y la fórmula de Newton-Leibniz, estas fueron encontradas por Newton y Leibniz, de forma independiente. Pero este es solo un teorema del cálculo.

Para responder a su segunda pregunta, sí, Newton (y Leibniz y Bernoulli) también sabían ecuaciones diferenciales y de integración. La integración fue desarrollada por Eudoxo y Arquímedes, y esta es la parte más antigua del cálculo. La diferenciación como herramienta para encontrar extremos también fue utilizada por Arquímedes (y por Fermat, y por otros).

Árbitro. N. Bourbaki, Elementos de la historia de las matemáticas.

Observación. Dado que mi mención de Arquímedes provocó tantos comentarios, permítanme citar a Nicolas Bourbaki, el ensayo sobre Historia del cálculo (mi propia traducción):

El mayor descubrimiento matemático de los griegos fue su método de tratamiento de problemas que llamamos cálculo integral. Eudoxo dio los primeros ejemplos de aplicación de este método cuando determinó los volúmenes de un cono y una pirámide; esto nos llegó en una descripción más o menos adecuada de Euclides (VII, Prop. 7, 10). Pero lo más importante es que casi todas las obras de Arquímedes están dedicadas a estos problemas, por una suerte excepcional podemos leerlas en los originales, en su hermoso dialecto dórico.

También menciona que Arquímedes fue, con mucho, el matemático más citado en el siglo XVII.

Permítanme agregar que todas las obras sobrevivientes de Arquímedes están fácilmente disponibles en traducción al inglés a las que envío a todos aquellos que tienen dudas sobre quién inventó la integración. Y muchos comentarios a ellos también están disponibles. Pero para una historia breve y no técnica del cálculo en el siglo XVII (y el papel de la herencia griega en él), recomiendo el artículo de Bourbaki citado anteriormente.

Por cierto, el propio Newton describió su principal contribución al cálculo como:

Se puede resolver cualquier ecuación diferencial conectando una serie de potencias con coeficientes indeterminados y encontrar los coeficientes uno por uno.

(Modernicé ligeramente su lenguaje). Esto no se enseña en los cursos elementales modernos.