¿Por qué la diferenciación bajo el signo integral se denomina regla de Leibniz?

Esta regla se debe, de hecho, a Leibniz, aunque fue Johann Bernoulli quien se dio cuenta de sus implicaciones más amplias, y su descubrimiento tiene una historia interesante. Se cuenta en el Capítulo 3 de Familias de Curvas y los Orígenes de la Diferenciación Parcial de Engelsman . La regla aparece en una carta de Leibniz de 1697 a Bernoulli, como resultado secundario de su larga correspondencia sobre el problema de las trayectorias ortogonales.

Como se planteó originalmente en 1694, se trataba de " Dadas infinitas curvas por posición; encuentre la curva que las interseca a todas en ángulo recto ", con la motivación de que los rayos de luz son ortogonales a los frentes de onda en la óptica de ondas de Huygens. Leibniz resolvió el problema el mismo año de la siguiente manera: si$V(x,y,a)=0$dar a la familia, entonces las trayectorias se pueden encontrar resolviendo$V_x(x,y,a)dy-V_y(x,y,a)dx=0$. En ese momento, Bernoulli solo tenía conocimientos algebraicos.$V$en mente.

En junio de 1696, Bernoulli planteó a los lectores de Acta Eruditorum su ahora famoso problema de la brahistocrona. Pudo encontrar trayectorias ortogonales a su familia, dadas por$y=\int_{0}^x\sqrt{\frac{x}{a-x}}\,dx$, usando su analogía óptico-mecánica, ver ¿ Anticipó la óptica ondulatoria a la mecánica cuántica? Lo que señaló en una carta a Leibniz fue que su método general no parecía funcionar para esta familia o, más generalmente, para familias de curvas trascendentales dadas por$y=\int_{x_0}^xp(x,a)\,dx$. Y luego vino la regla integral de Leibniz.

El gran avance de Johann Bernoulli para las curvas trascendentales se produjo en agosto de 1697, y fue una consecuencia inmediata del descubrimiento de Leibniz a principios de ese mes del teorema de intercambiabilidad para diferenciación e integración. Cuando recibió la carta de Leibniz que contenía este teorema, Bernoulli reconoció de inmediato que era abrió un camino a la diferenciación con respecto al parámetro para cualquier tipo de expresión.No había habido dificultad para interpretar$V_a(x,y,a)$en cuanto a expresiones algebraicas$V(x,y,a)$estaban preocupados, y ahora el problema de interpretar$\frac{\partial}{\partial a}\int_{x_0}^xp(x,a)\,dx$también se había solucionado. "

No pude obtener la carta de Leibniz, pero Cambridge History of Science: Volume 4, Eighteenth-Century Science, p.316 dice que él usó que el diferencial de una suma de infinitesimales es igual a la suma de sus diferenciales. Mientras también estudiaba trayectorias ortogonales, Euler dio una prueba diferente en De Infinitis Curvis Eiusdem (c. 1734, publicado en 1740) , aplicando antiderivadas a la igualdad de parciales mixtos.