Conjugación de carga en forma arbitraria

En su lugar, usemos la base de Majorana para las matrices Gamma, que denotaré con una tilde. Lo principal de esta base es que todas las matrices gamma son imaginarias, por lo que la ecuación de Dirac$(i\tilde{\gamma}^{\mu}\partial_\mu-m)\tilde{\psi}=0$es real, y las soluciones se pueden dividir en partes puramente reales e imaginarias. Así que si$\tilde{\psi}$satisface la ecuación también lo hace$\tilde{\psi}_c\equiv\tilde{\psi}^{*}$. Así es como se ve la conjugación de carga en esta base.

En una base diferente de matrices gamma, digamos la base quiral, necesitamos hacer una transformación unitaria$\psi=U\tilde{\psi}$. Entonces

$$\psi_c=U\tilde{\psi}^*=U(U^\dagger \psi)^*=UU^T \psi^*\equiv\gamma^0C\psi^*,$$ donde en la última línea definimos la matriz $C$ $$\gamma^0C\equiv UU^T.$$ Entonces, arriba está la fórmula para la conjugación de carga en una base arbitraria, donde $C$se define en términos de la transformación unitaria a partir de la base de Majorana.

La razón por la que incluimos el factor de$\gamma^0$es asi$C$satisface la segunda identidad que mencionaste. Esto se sigue de$\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0=\gamma^{\mu\dagger}$que se conserva por transformaciones unitarias.

A partir de esto podemos probar la generalización de las identidades que enumeró

$$C\gamma_\mu C^{-1}=-\gamma_\mu^T$$ $$-CC^*=1$$

Lo que no es necesariamente general es$C=C^{-1}$. Presenté el mismo argumento aquí que en el documento arXiv: 1006.1718 , por lo que es posible que desee verlo.