Confusión en el argumento de la independencia lineal de matrices en Bjorken y Drell

En Bjorken y Drell, Relativistic Quantum Mechanics, se construye el siguiente argumento para mostrar que un conjunto de matrices derivadas de la$\gamma$las matrices son linealmente independientes. Las matrices de preocupación (aunque no creo que sea particularmente importante en el argumento):

donde el$\gamma_\mu$y$\sigma_{\mu\nu}$tener el significado habitual.

Entonces se hace el siguiente argumento para mostrar que las matrices anteriores forman 16 matrices linealmente independientes:

1. $\forall\space \Gamma^n,\space (\Gamma^n)^2 = \pm \text{I}$
2. $\forall \space \Gamma^n \neq\Gamma^S, \exists \space\Gamma^m \space\text{such that} \space \{\Gamma^n,\Gamma^m\} = 0$dónde$\{A,B\}$es el anticonmutador, lo que implica Tr$(\Gamma^n) = 0$
3. Para$a \neq b$,$\exists \space \Gamma^n \neq\Gamma^S$tal que$\Gamma^a \Gamma^b = \Gamma^n$.

Hasta ese punto estoy de acuerdo con lo que se ha dicho, pero es el cuarto punto el que me confunde:

4. Supongamos que existe$a_n$tal que $$\sum_na_n\Gamma^n = 0$$ Luego, multiplicando por$\Gamma^m \neq\Gamma^S$, y tomando la traza, usando (3) encontramos que$a_m = 0$.

Si alguien pudiera explicar estos pasos con más detalle, sería muy apreciado.