Cómo expresar γμγνγμγν\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} como una combinación lineal de {1, γ5,γμ,γuγ5,σμνγ5,γμ,γuγ5,σμν\gamma^5, \gamma^{\mu }, \gamma^{u} \gamma^5, \sigma^{\mu \nu}}?

** EDITAR: creo que me he equivocado por completo al hacer mi pregunta. Aquí hay otro intento.

No entiendo qué significa una combinación lineal en esta situación. Mi deseo ingenuo es tener una expresión con todos los términos de la base. Sin embargo, esto no funciona dimensionalmente.

¿Qué debería estar pensando en esta situación cuando leo una combinación lineal? **

Me han dado la siguiente pregunta:

Expresar$\gamma^{\mu} \gamma^{\nu}$como una combinación lineal de {1,$\gamma^5, \gamma^{\mu}, \gamma^{u} \gamma^5, \sigma^{\mu \nu}$}

Originalmente, quería encontrar una respuesta como,

$$\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} = a\mathbf{1}+ b\gamma^5 + c\gamma^{\mu} + d \gamma^{\mu} \gamma^5 +e \sigma^{\mu \nu}$$ Sin embargo, esto obviamente está mal en muchos niveles (es doloroso verlo. Pido disculpas por cualquier sangrado de los ojos que haya ocurrido).

Mi pregunta ahora es ¿cómo se supone que debo interpretar la "combinación lineal"? Hasta ahora, mi ruta para encontrar una respuesta es la siguiente:

$$\sigma^{\mu \nu} = \frac{i}{2}(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} -\gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \Rightarrow \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} = \frac{2}{i} \sigma^{\mu\nu} + \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}$$ Lo cual parece un comienzo medio aceptable. He tomado esto en varias direcciones diferentes y todo me deja sintiéndome inseguro de mi objetivo. Lo que nos lleva al punto de partida de cómo debo interpretar la pregunta.