¿Las matrices gamma forman una base?

Como las respuestas anteriores han señalado correctamente, las matrices gamma no forman una base de$M(4,\mathbb{C})$. Sin embargo, puedes construir uno a partir de ellos de la siguiente manera.

• 1 la matriz de identidad$\mathbb{1}$
• 4 matrices$\gamma^\mu$
• 6 matrices$\sigma^{\mu\nu}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu]}$
• 4 matrices$\sigma^{\mu\nu\rho}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho]}$
• 1 matriz$\sigma^{\mu\nu\rho\delta}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\delta]}=i\epsilon^{\mu\nu\rho\delta}\gamma^5$

estas 16 matrices forman la base que buscábamos.

Además, se utilizan para construir los espinores bilineales multiplicando por$\bar{\psi}$a la izquierda y$\psi$a la derecha, que se transforman en los índices de Lorentz de la siguiente manera

• $\bar{\psi}\psi$escalar
• $\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$vector
• $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$Tensor de segundo rango (antisimétrico)
• $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu\rho}\psi$pseudovector
• $\bar{\psi}\gamma^5\psi$pseudoescalar

el hecho de que forman una base de$M(4,\mathbb{C})$es muy importante porque estos son entonces los únicos bilineales de espinor independientes (es decir,$\bar{\psi}M\psi$) que se pueden construir, cualquier otro se puede expresar como una combinación lineal de estos. Una cuestión diferente es si tendría algún sentido sumar cualquiera de estos, ya que son diferentes tipos de tensores bajo transformaciones de grupos de Lorentz.

Para complementar la excelente respuesta de V. Moretti, vale la pena enfatizar que la dimensión de las matrices complejas de cuatro por cuatro$\mathbb C^{4\times 4}$, cuando se ve como un espacio vectorial sobre$\mathbb C$, es$4\!\times\!4=16$. Como tal, un conjunto de cuatro matrices (es decir, vectores en$\mathbb C^{4\times 4}$) nunca puede ser una base para ello.

También vale la pena decir que el grupo lineal general$\text{GL}(4,\mathbb C)\subset\mathbb C^{4\times 4}$, es decir, las matrices de cuatro por cuatro con determinante distinto de cero, no es un espacio vectorial (por ejemplo, no tiene un cero), y por lo tanto es engañoso hablar de una base para ello. Dicho esto, aún es posible solicitar un conjunto mínimo de vectores (es decir, matrices) cuyo lapso contendrá$\text{GL}(4,\mathbb C)$; esto resulta requerir una base completa de$\mathbb C^{4\times 4}$porque las matrices te las 'saltas',$\mathbb C^{4\times 4}\setminus\text{GL}(4,\mathbb C)$, tiene medida cero, entonces$\text{GL}(4,\mathbb C)$es una variedad compleja de dimensión 16 y requiere muchos parámetros para ser descrita.

No, no lo hacen, por razones dimensionales, pero son generadores del álgebra. Es decir,$I$y los productos de$\gamma^a$(productos de una, dos, tres y cuatro matrices) forman tal base.

NOTA AÑADIDA. Como comentó correctamente Emilio Pisanty (también haciendo algunos comentarios más interesantes)$GL(4, \mathbb C)$no es un espacio lineal por lo que las preguntas sobre sus bases son inapropiadas. De hecho interpreté implícitamente que$GL(4,\mathbb C)$como$M(4, \mathbb C)$, el álgebra compleja de$4\times 4$matrices complejas que, por definición, también es un espacio vectorial complejo.