Representación del grupo Dirac

Question

Representación del grupo Dirac

Física
teoría de grupos
matrices de dirac
Álgebra de Clifford
representaciones de grupo
teoría de la representación

cuantización

Actualmente estoy tomando una clase de teoría de la representación (de un físico), y estoy muy confundido acerca de las representaciones irreducibles de los grupos de Dirac.

En primer lugar, todas las matrices de Dirac en la representación tienen trace = 0, por lo que ni siquiera parece incluir una matriz unitaria. Cuando hablábamos de representaciones en clase antes, siempre teníamos una matriz unitaria en una representación, ¿qué pasó?

Además, la conferencia se centró en distinguir el caso de 2n-dimensión y 2n-1-dimensión. Si bien entiendo por qué hay una clase de conjugación más en la dimensión impar (por lo tanto, la dimensión par tiene una representación irreducible más que la dimensión impar), no puedo apreciar completamente toda la diferencia en las representaciones irreducibles en los casos de dimensiones pares e impares; en particular, me pidieron en una tarea que mostrara que si una matriz de Dirac { $\gamma^\mu$ } formar una representación irreducible, luego demostrar que { $-\gamma^\mu$ } es representante irreducible equivalente en el caso de dimensión par, y representante irreducible no equivalente en el caso de dimensión impar. Pero, de nuevo, si pienso en la tabla de caracteres para ver si una representación es equivalente o no a otra representación, me siento como matrices en { $\gamma^\mu$ } y {- $\gamma^\mu$ } nunca tendrán el mismo rastro, por lo que nunca pueden ser equivalentes (a menos que sean todos 0, que es el caso, creo. Por otra parte, ¿cómo podrían ser representaciones diferentes entonces?).

¡Apreciaría cualquier buen material de lectura/respuestas a mis preguntas!

Trimok

La matriz de unidades y la matriz de unidades negativas son parte del grupo de Dirac, consulte, por ejemplo, el capítulo

6.1

$6.1$ de esta ref . ¿De verdad te refieres a representaciones del grupo de Dirac, o representaciones del álgebra de Clifford real?

C l_{1, 3} (R)

$Cl_{1,3}(\mathbb R)$ , o representaciones de otro grupo ?

cuantización

Hablo de la representación del álgebra de Clifford real (de dimensión arbitraria, y no necesariamente de signatura lorentziana (posiblemente euclidiana)).

cuantización

Gracias por señalar sobre la matriz de unidades y la matriz de unidades negativas.

prahar

Creo que su confusión surge al pensar en representaciones de un álgebra frente a representaciones del grupo. El representante del grupo siempre debe tener la matriz unitaria. El representante del grupo

g

$g$ se obtiene de una representación de su álgebra

X

$X$ a través de la exponenciación

g = e^{X}

$g = e^X$ . Existencia de una matriz unitaria en el grupo rep. implica la existencia de una matriz "cero" en el álgebra. Que existe una matriz cero en el álgebra es obvio ya que es la identidad aditiva (que debe existir para cualquier álgebra).

prahar

Incluso para su segundo punto, creo que su confusión se aliviará si se da cuenta de que los físicos a menudo hablan de representaciones del álgebra, mientras que a los matemáticos les gusta hablar de representaciones del grupo (que, en general, no son cosas equivalentes). Las clases de conjugación y las tablas de caracteres generalmente se usan para discutir representaciones de grupos (hasta donde yo sé). El análogo de estas cosas en un álgebra son las subálgebras invariantes.

Respuestas (2)

Representación del grupo Dirac

La matriz de unidades y la matriz de unidades negativas son parte del grupo de Dirac, consulte, por ejemplo, el capítulo $6.1$ de esta ref . ¿De verdad te refieres a representaciones del grupo de Dirac, o representaciones del álgebra de Clifford real? $Cl_{1,3}(\mathbb R)$ , o representaciones de otro grupo ?
Hablo de la representación del álgebra de Clifford real (de dimensión arbitraria, y no necesariamente de signatura lorentziana (posiblemente euclidiana)).
Gracias por señalar sobre la matriz de unidades y la matriz de unidades negativas.
Creo que su confusión surge al pensar en representaciones de un álgebra frente a representaciones del grupo. El representante del grupo siempre debe tener la matriz unitaria. El representante del grupo $g$ se obtiene de una representación de su álgebra $X$ a través de la exponenciación $g = e^X$ . Existencia de una matriz unitaria en el grupo rep. implica la existencia de una matriz "cero" en el álgebra. Que existe una matriz cero en el álgebra es obvio ya que es la identidad aditiva (que debe existir para cualquier álgebra).
Incluso para su segundo punto, creo que su confusión se aliviará si se da cuenta de que los físicos a menudo hablan de representaciones del álgebra, mientras que a los matemáticos les gusta hablar de representaciones del grupo (que, en general, no son cosas equivalentes). Las clases de conjugación y las tablas de caracteres generalmente se usan para discutir representaciones de grupos (hasta donde yo sé). El análogo de estas cosas en un álgebra son las subálgebras invariantes.

seguro · Answer 1

La relación definitoria para el álgebra de Clifford, $Cl(1,d)$ es

{γ_{m}, γ_{v}} = 2 η_{m v} 1,

$\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=2 \eta_{\mu\nu}\ \mathbf{1}\ ,$ Por simplicidad, supondré que

η_{μ ν} = Diag (1, - 1, \dots, - 1)

$\eta_{\mu\nu}=\text{Diag}(1,-1,\ldots,-1)$ con

μ, ν = 0, 1, \dots, d

$\mu,\nu=0,1,\ldots,d$ . Se pueden incorporar fácilmente otras firmas. Es fácil ver eso

γ_{0}^{2} = - γ_{i}^{2} = 1

$\gamma_0^2=-\gamma_i^2=\mathbf{1}$ para

i = 1, \dots, d

$i=1,\ldots,d$ . Usando la relación definitoria, se tiene

γ_{0} γ_{i} + γ_{i} γ_{0} = 0 .

$\gamma_0 \gamma_i + \gamma_i \gamma_0 =0 \ .$ Multiplica la ecuación anterior por

γ_{0}

$\gamma_0$ y luego tomar el rastro para obtener

Tr (γ_{i}) + Tr (γ_{0} γ_{i} γ_{0}) = 0 ⟹ Tr (γ_{i}) = 0,

$\text{Tr}(\gamma_i) + \text{Tr}(\gamma_0 \gamma_i \gamma_0)=0\implies \text{Tr}(\gamma_i)=0\ ,$ en el uso de la propiedad cíclica de la traza. Del mismo modo, se puede mostrar

Tr (γ_{0}) = 0

$\text{Tr}(\gamma_0)=0$ . Entonces, la propiedad definitoria prueba la ausencia de trazas de las matrices de Dirac.

dos representaciones, $\gamma_\mu$ y $\gamma_\mu'$ , del álgebra de Clifford se dice que son equivalentes si $\gamma_\mu' = S \cdot \gamma_\mu S^{-1}$ para alguna matriz invertible $S$ .

El Apéndice A del artículo Physics Reports de Sohnius podría ser un buen punto de partida para las otras propiedades.

No creo que hayas respondido realmente a mi pregunta. Mi pregunta no era para probar que no tiene rastro... ¡Pero gracias por el artículo!
Su pregunta de largo aliento necesita una respuesta larga, por lo que el apéndice hará eso. Me di cuenta de que la falta de rastro de las matrices de Dirac le parecía un misterio y, por lo tanto, la prueba. Puedo borrar mi respuesta si crees que es un desperdicio.
No, no creo que sea un desperdicio. Lo siento si soné desagradable. Además, ¡estoy teniendo problemas para conseguir el artículo! :(
Escriba "sohnius introduciendo la supersimetría" en su motor de búsqueda favorito y debería encontrar un enlace a un archivo pdf.

arturo don juan · Answer 2

Aunque las respuestas hasta ahora han sido esclarecedoras, creo que se perdieron el principal punto de confusión (creo que el primer comentarista lo clavó).

Hay que diferenciar entre el álgebra de Clifford $\text{Cℓ}_{t,s}(\mathbb{R})$ , dónde $t+s=d$ es la dimensionalidad del espacio-tiempo y las matrices de Dirac que generan una base para ello a través de productos. Más específicamente, tenemos un conjunto de $d$ Matrices de Dirac $\{\gamma^\mu\}$ que satisfacen la relación del álgebra de Clifford $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$ . Los productos de estas matrices de Dirac, junto con la identidad, forman la base del álgebra de Clifford:

Γ = {1, γ^{m}, γ^{5}, γ^{m} γ^{5}, γ^{m} γ^{v}}

$\Gamma = \{1,\gamma^\mu,\gamma^5,\gamma^\mu\gamma^5,\gamma^\mu \gamma^\nu\}$

dónde $\gamma^5=\prod_\mu \gamma^\mu$ , con un factor potencial de $i$ para asegurar la Hermiticidad dependiendo de $(t,s)$ . Esta elección común de base para el álgebra de Clifford forma un grupo finito $^\dagger$ , y es a lo que la gente se refiere como el "grupo de Dirac", no las matrices de Dirac individuales en sí mismas.

De hecho, como notó (y como confirmó @suresh), la matriz unitaria no puede ser una matriz de Dirac en ninguna representación (ya que $\text{Tr}(\gamma^\mu )=0$ para todos $\mu$ ). ¡Pero la matriz unitaria tiene que estar presente en cualquier representación de cualquier grupo finito!

$^\dagger$ En realidad, como lo he escrito. $\Gamma$ generalmente no forma un grupo. Uno debe anteponer $\pm$ a cada entrada: $\Gamma_{\text{Dirac}}=\{\pm 1, \pm \gamma^\mu, \pm\gamma^5, \pm\gamma^\mu\gamma^5, \pm\gamma^\mu \gamma^\nu\}$

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