Transformación entre representación de Weyl y Dirac de matrices Gamma

Quiero encontrar una transformación de similitud. T entre la representación de Weyl y la representación de Dirac de las matrices gamma: γ W m = T γ D m T − 1 . Resulta que puedo mirar el componente cero y obtener

γ D 0 = ( A − 1 σ 0 A ) ⊗ ( B − 1 σ 1 B ) = σ 0 ⊗ σ 3 .
Por eso, A = 1 . Para B tenemos σ 1 B = B σ 3 . Para los demás componentes: σ 2 B = B σ 2 . Ahora estoy interesado en la forma de B . Si pensamos en la relación de conmutador de las matrices de Pauli obtenemos: B = a σ 0 + i b σ 2 , usando la otra ecuación anterior, obtenemos directamente a = − b . Hasta ahora, todo bien.

Mi pregunta ahora es cómo podría verse esto desde el punto de vista del álgebra lineal, es decir, usando directamente las propiedades de transformación de la base de las matrices 2x2 y NO haciendo uso de las relaciones de conmutación.

simplemente forme una matriz que tenga sus columnas como los vectores propios de s i gramo metro 1 luego forme otra matriz que tenga sus columnas como vectores propios s i gramo metro 2 luego dividir en otro. Aquí está tu B .

Respuestas (1)

Pruebe (A-26) de Itzykson & Zuber, o cualquier texto QFT decente.

T = 1 2 ( I ⊗ I + i σ 2 ⊗ I ) ,
que deja
γ → = i σ 2 ⊗ σ →
invariante bajo una transformación de similitud y mapas γ 0 :
T γ D 0 T − 1 = 1 2 ( I ⊗ I + i σ 2 ⊗ I ) ( σ 3 ⊗ I ) 1 2 ( I ⊗ I − i σ 2 ⊗ I ) = − σ 1 ⊗ I = γ W 0   .
los roles de σ 1 y σ 3 se invierten esencialmente entre las representaciones W y D para γ 5 , por lo que la inversa T aquí se transforma γ 5 , y la ecuación anterior equivale alternativamente a
T γ D 5 T − 1 = 1 2 ( I ⊗ I + i σ 2 ⊗ I ) ( σ 1 ⊗ I ) 1 2 ( I ⊗ I − i σ 2 ⊗ I ) = σ 3 ⊗ I = γ W 5   .

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