¿Qué significa Λ−112γμΛ12=ΛμμνγνΛ12−1γμΛ12=Λμνμγν\Lambda^{-1}_{\frac{1}{2}}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}{2}}=\Lambda^ \mu_{\phantom{\mu}\nu}\gamma^\nu significa?

Por lo general, cuando vemos un objeto con un índice griego como$\gamma^\mu$, suponemos que el objeto contiene las componentes de un vector y que la forma de rotarlo implica una suma sobre el índice$\mu$. Desde$\{\gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3\}$son matrices, podemos transformarlas multiplicándolas por matrices de izquierda y derecha. Se eligen de manera que la multiplicación de matrices por una forma particular de matriz por la izquierda y su inversa por la derecha coincida con una transformación de la forma$\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} \gamma^\nu$, como si el$\gamma^\mu$eran componentes de un vector. (No lo son; son más como postes de guía que le dicen a los operadores derivados en$\sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu$qué componentes del campo de la derecha apuntan realmente a lo largo de la dirección en la que$x^\mu$aumenta.)

La rotación simultánea significa transformar usando la suma sobre el índice griego y la multiplicación por matrices al mismo tiempo:

$\sum_\nu \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu}(\Lambda_{\tfrac12}\gamma^\nu \Lambda_{\tfrac12}^{-1}) = \gamma^\mu$

Es equivalente a rotar/impulsar en una dirección y luego invertirla.

$γ$es un mapa inyectivo de$\mathbb R^{1,3}$en el álgebra de Clifford de$\mathbb R^{1,3}$, que lleva cada vector a sí mismo. Dado que es un mapa lineal, puede considerarlo como un tensor de rango 2. Interpretado adecuadamente, es el tensor de identidad, por lo que transformarlo de manera equivalente en ambos lados lo deja sin cambios. Eso es esencialmente lo que dice esa ecuación, aunque de una manera confusa.

El álgebra de Clifford de$\mathbb R^{1,3}$es un bonito objeto matemático que fue reinventado en una forma bastante fea por Dirac. En resumen, un álgebra de Clifford es un álgebra libre no conmutativa de vectores de algún espacio vectorial normado módulo S+S y suma V+V, multiplicación SS y SV, y norma V 2 al cuadrado ^. A partir de esto, puede derivar todas las demás propiedades, incluida la existencia de representaciones matriciales como la de Dirac.

Puede entenderse como un álgebra de reflexiones, en la que un vector representa una reflexión a través de un hiperplano normal a sí mismo y los productos de vectores representan composiciones de reflexiones. Cualquier rotación en un plano se puede escribir como una composición de dos reflexiones. Si gira uno de los espejos 180°, se refleja en la misma dirección que antes, pero sus puntos normales apuntan en la dirección opuesta, por lo que la rotación correspondiente (en 360°) toma un factor de$-1$en el álgebra de Clifford. Esta es la razón geométrica detrás de la doble cubierta.

De la interpretación como álgebra de reflexiones, si se acepta como correcta, se puede deducir que las reflexiones actúan sobre los vectores por conjugación, y por lo tanto también lo hacen los productos de las reflexiones, incluyendo todas las rotaciones.

$Λ_\frac12$es una representación de una rotación arbitraria en$\mathbb R^{1,3}$como producto de dos o cuatro vectores. si piensas en$γ^μ$como un vierbein, luego la conjugación por$Λ_\frac12$rota cada uno de sus vectores independientemente. Por otro lado,${Λ^μ}_νγ^ν$golosinas$γ$como base ortonormal para$\mathbb R^{1,3}$(aunque en realidad está hecho de vectores algebraicos de Clifford, no de 4 vectores), y lo transforma mezclándolos. El resultado es el mismo de cualquier manera.

Este es solo un ejemplo de una propiedad importante de los operadores tensoriales GL(N) Lie Group. Significa que el operador tensorial$\gamma^{\mu}$se transforma como un 4-vector bajo conjugación.

Consulte mi respuesta a "¿ Las matrices de Dirac forman un cuatro vector adecuado? ", que podría haberse publicado mejor aquí.