¿La tasa de precesión absidal tiene alguna dependencia con el argumento del periapsis? ¿Quizás un orden superior?

Sí, hay muchos otros términos que involucran poderes superiores de$\omega$, aunque los poderes de$\omega$se encuentran más a menudo como$\cos 2 \omega$,$\sin 3 \omega$, etc. , y el tamaño de la mayoría de ellos suele ser ignorable, porque se multiplican por cosas que son pequeñas, como$J_2$en cubos o$J_5$. Existen recetas para generar la cantidad de términos que desee utilizar, con potencias arbitrariamente altas de todos los elementos orbitales, pero son complicadas de explicar. Para la primera parte de la derivación, puede leer An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics (1999) de Robert Battin , donde este material es la mayor parte del Capítulo 10. También se encuentra en prácticamente cualquier otro texto de astrodinámica sólida que le pueda gustar. , aunque todos con una notación ligeramente diferente. La segunda parte no está bien cubierta en Battin, Vallado u otros libros similares que he leído, con la excepción de Theory of Satellite Geodesy de William Kaula , por lo que le recomiendo que intente encontrar una copia de eso.

Traté de reducir la derivación a algo que pudiera publicar aquí, pero no pude lograrlo. El álgebra es demasiado densa. La idea principal es escribir la dinámica completa como la solución Kepleriana simple de dos cuerpos más algo más, donde se conocen todas las aceleraciones adicionales y la tarea es encontrar el cambio en el movimiento de dos cuerpos que coincide con esas perturbaciones. A esto se le llama variación de parámetros., que es un método general para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales, inventado por Euler y ampliado por Lagrange y Gauss, específicamente para tratar este problema en la determinación de las órbitas de Júpiter y Saturno. Descubrieron las ecuaciones que describen cómo los elementos orbitales cambian con el tiempo, basándose en todas las cosas además de la masa puntual Kepleriana simple de dos cuerpos que desea considerar. Eso da como resultado las ecuaciones planetarias de Lagrange . De los seis, el que preguntaste es

en forma de Lagrange, donde$R$es la ''función perturbadora'', cuyas derivadas dan las aceleraciones que queremos estudiar. En el caso de que la perturbación sea causada por un tercer cuerpo gravitante, como el sol o la luna,$R$es igual

dónde$m$es la masa del tercer cuerpo,$\rho$es su distancia al cuerpo central,$d$es su distancia desde el cuerpo en órbita, y$\alpha$es el ángulo entre los vectores$\r$y$\rho$. Encontrar un$R$que da lugar a la aceleración que deseas estudiar puede ser una dificultad, por lo que la forma alternativa de Gauss usa las aceleraciones directamente, pero no la presentaré aquí. En cambio, veamos dónde llegamos$R$y cómo tomamos sus derivados. Si estamos viendo el efecto de que el cuerpo central no sea una masa puntual, entonces es tradicional escribir$R$como

como se describe en esta respuesta . Tenga en cuenta que no teníamos que hacerlo de esta manera. ¡Elegimos hacerlo de esta manera, porque en realidad es mucho más fácil que muchas otras formas que podríamos haber elegido! los coeficientes$\bar{C}_{nm}$y$\bar{S}_{nm}$se definen como el resultado de integrar funciones de ponderación apropiadas por el potencial gravitacional, con dominio de la distribución de masa del cuerpo central, pero en realidad se miden comparando esta fórmula con el movimiento observado de los satélites. Este proceso es la "geodesia satelital" del título de Kaula.

Lo que llamé "la segunda parte" arriba es el siguiente paso, que en realidad es tomar las derivadas de la función perturbadora y luego juguetear hasta que encontremos alguna aproximación que podamos resolver. Gran parte del trabajo en este punto es mecánica clásica al nivel del libro de Herbert Goldstein , haciendo un montón de transformaciones "canónicas" , lo que realmente significa cambiar variables hasta transformar el hamiltoniano en algo con solo soluciones triviales. Este es el origen de las teorías del elemento medio como el trabajo de Brouwer que comenzó con las variables de Delaunay y siguiódesde allí. La otra mitad, que solo he visto desarrollada con este nivel de detalle en Kaula, es reescribir varias partes de la función perturbadora como cosas cuyas derivadas se pueden tomar más fácilmente. Sucede que el seno de la latitud$\phi$es igual$\sin i \sin(\omega + f)$, dónde$f$es la verdadera anomalía, y$\sin \phi$es el argumento de los polinomios de Legendre asociados! Además, uno puede reescribir los términos en sin y$\cos m \lambda$(longitud) como polinomios en seno y coseno de ($m(\Omega-\theta)+c(\omega+f)$), donde c es un número entero que depende de la potencia de cos o sen, y$\theta$es el ángulo horario de Greenwich. Esto significa que cada término en la expansión contiene$\omega$explícitamente, a excepción de los pocos que son simétricos con respecto al eje de rotación del sistema de coordenadas esféricas.

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Aparte, algo que encuentro aún más interesante sucede en la llamada inclinación crítica : si$\cos^2 i = 1/5$, lo que sucede aproximadamente a 63.435 grados, luego por esa fórmula$\dot{\omega}$es exactamente cero, sin importar el valor$J_2$toma , y por lo tanto el argumento del perigeo no cambia, sin importar qué cuerpo se esté orbitando.

Esto se usa prácticamente para la llamada órbita de Molniya , una órbita altamente excéntrica (típicamente$e$es de 0,6 a 0,75) órbita con argumento de perigeo a 270 grados (cerca del polo sur), de modo que el apogeo está cerca del polo norte y, por lo tanto, podría brindar una cobertura geográfica de la Unión Soviética mucho mejor que la que podría brindar una (necesariamente casi ecuatorial). ) órbita geoestacionaria. La excentricidad alta aprovecha la ley de tiempo igual de áreas iguales de Kepler para organizarla de modo que el satélite pase la mayor parte de su órbita de 12 horas moviéndose muy lentamente por el cielo del norte, y luego haga un zoom muy rápido alrededor de la mitad sur del globo antes de volver a aparecer sobre el cielo. hacia el norte donde quiere estar y disminuyendo la velocidad de nuevo. En tal órbita, necesitas$\dot{\omega}$desaparecer para que todo el concepto funcione, o de lo contrario su satélite que comienza a habitar sobre el hemisferio norte comenzará a girar para que el apogeo se vuelva primero ecuatorial y luego sobre el hemisferio sur, donde no necesita la cobertura de comunicación.

Ahora, por supuesto$\dot{\omega}$nunca es exactamente cero, por lo que estos vehículos tienen que hacer su propio tipo de mantenimiento de la posición, pero las fuerzas sobre ellos que maniobran para cancelar son muy diferentes a las que se encuentran en otros tipos de órbitas con nombre. La naturaleza exacta de esta rareza ha atraído un gran interés de investigación a lo largo de los años, algunos con un grado de sofisticación matemática bastante aterrador. Para dar una idea del tipo de cosas que uno puede encontrar, aquí hay enlaces a tres documentos muy diferentes que tocan partes interesantes del tema.

• da Costa, de Moraes, Carvalho y Prado, "Satélites artificiales que orbitan satélites planetarios: inclinación crítica y órbitas heliosincrónicas" , Journal of Physics: Conf. La serie 911 (2017) 012018 es moderna, accesible y analiza la luna de la Tierra, Io y Europa.

• Jupp, "El problema de la inclinación crítica - 30 años de progreso" , Celestial Mechanics 43 (1989) 127-138, es una historia cautivadora y parlanchina del trabajo en los años 60 y 70 que proporciona una introducción un tanto suave a algunas de las matemáticas avanzadas necesarias para entender mi tercer ejemplo,

• Coffey, Deprit y Miller, "The Critical Inclination in Artificial Satellite Theory" , Celestial Mechanics 39 (1986) 365-406, que comienza con las palabras

"la inclinación crítica en el problema principal de la teoría de los satélites artificiales es una singularidad intrínseca. Su importancia se deriva de dos eventos geométricos en el espacio de fase reducido en las variedades de momento angular polar constante y acción de Delaunay constante. En la vecindad de la inclinación crítica, a lo largo de la familia de órbitas circulares, aparecen dos bifurcaciones de Hopf, a cada una de las cuales convergen dos familias de órbitas..."

y se vuelve más difícil a partir de ahí.