¿Qué tan poderoso es el teorema de Cayley?

Probablemente valga la pena señalar que las incrustaciones en grupos simétricos de grado mínimo han sido estudiadas por múltiples autores, entre ellos, DL Johnson, Minimal permutation representaciones de grupos finitos , Amer. J. Matemáticas. 93 (1971), 857-866, D. Wright, Grados de incrustaciones mínimas para algunos productos directos , Amer. J. Matemáticas. 97 (1975), 897–903. Véase también N. Saunders, Minimal Faithful Permutation Degrees of Finite Groups , Aust. Matemáticas. Soc. Gazette 35 , no.2 (2008), 332-338, y Desigualdades estrictas para grados mínimos de productos directos , Bol. agosto Matemáticas. Soc. 79 , no.1 (2009), 23–30 del mismo autor.

Además, y para ser completo, debo mencionar el artículo de David Easdown y Cheryl Praeger, Sobre representaciones mínimas de permutación fiel de grupos finitos , Bull. Austral. Matemáticas. Soc. 38 (1988), 207-220, y un artículo más "reciente" que lleva el mismo título, pero fue escrito por LG Kovács y Cheryl Praeger, Bull. Austral. Matemáticas. Soc. 62 (2000), 311-317.

Finalmente, en Minimal incrustaciones de pequeños grupos finitos (ver https://arxiv.org/abs/1706.09286 ) Robert Heffernan, Des MacHale y Brendan McCann determinan los grupos de orden mínimo en los que todos los grupos de orden $n$puede incrustarse para$1 \leq n \leq 15$. Determinan además el orden de un grupo mínimo en el que todos los grupos u orden$n$ o menos se pueden incrustar, también para$1 \leq n \leq 15$.

Un buen resultado es el siguiente: Let$G$Sea un grupo de orden mínimo en el que todos los grupos de orden$12$se puede incrustar Entonces$G \cong S_3 \times S_4$.

La respuesta es 'a veces'. Por ejemplo, todos los grupos de orden$6$($C_6$y$S_3$) quedarse en cama$S_5$, pero el grupo de cuaterniones$Q_8$de orden$8$requiere$S_8$. Hay infinitamente muchos$n$tal que hay un grupo de orden$n$que no se incrusta en$S_{n-1}$, e infinitamente muchos para los que esto no es cierto.

Editar: más fácilmente, grupos cíclicos de orden.$p^n$no se puede incrustar en$S_{p^n-1}$.

Pero si$n$no es una potencia principal entonces todos los grupos de orden$n$incrustar en$S_{n-1}$. Para ver esto, desde$G$no tiene orden de una potencia prima es divisible por dos primos$p$y$q$. Entonces$G$tiene un elemento de orden$p$y un elemento de orden$q$,$x$y$y$decir. La acción sobre las clases laterales de$\langle x\rangle$unión de la acción sobre las clases laterales de$\langle y\rangle$produce una incrustación (¡fiel!)$G$en un grupo simétrico de grado$|G|/p+|G|/q<|G|$.

Edición 2: si uno solo quiere un subgrupo adecuado de$S_n$que contiene todos los grupos de orden$n$, entonces este es siempre el caso para todos$n>2$. Los únicos casos que necesitan ser tratados son$n$una potencia principal, como arriba. Pero luego todo$p$-los grupos están contenidos en un Sylow$p$-subgrupo, que tiene orden el$p$-parte de$n!$. Esto es (obviamente) mucho más pequeño que$n!$.

En general, yo (aunque Nicky Hekster aparentemente lo ha hecho) nunca he visto ningún trabajo sobre la construcción de un grupo mínimo que contenga todos los grupos de orden.$n$. Para$n=6$, por ejemplo, este grupo es el grupo diédrico$D_{12}$, cual es$C_2\times S_3$. Esto es mucho más pequeño que$S_5$, el grupo simétrico más pequeño que contiene ambos grupos de orden$6$. Si$|G|=p^2$entonces esto es$C_{p^2}\times C_p$, de orden$p^3$.

Como primer ejemplo de tal "universo más pequeño", piense en cualquier finito$G$tener un subgrupo normal propio,$H$. Entonces,$G$actúa por conjugación sobre$H$, y el núcleo de esta acción es$C_G(H)$. Por lo tanto, si$C_G(H)$es banal, entonces$G$se incrusta en$S_{|H|}$, que es un "universo más pequeño" que (el de Cayley)$S_{|G|}$. Por ejemplo,$C_{S_4}(A_4)=\{1\}$y por lo tanto$S_4\hookrightarrow S_{12}$(sin afirmar que esta es la incrustación mínima ).

Por el contrario, si$|G| = p > m$es primo, entonces$p \not\mid |S_m| = m!$. Por lo tanto, no puede haber una incrustación$G \hookrightarrow S_m$, porque su imagen sería un subgrupo de orden$p$, contradiciendo el teorema de Lagrange. Entonces, en este caso, el de Cayley es el "universo más pequeño posible".

Tal vez el ejemplo más simple de una incrustación "más nítida" (aunque sin afirmar su minimalidad), es el de$D_n$en$S_n$(que es más pequeño que el de Cayley$S_{2n}$). De hecho, con la notación estándar para los elementos de$D_n$, dejar$H:=\{1,s\}\le D_{n}$; entonces,$rHr^{-1}=\{1,r^2s\}$y por lo tanto$H\cap rHr^{-1}=\{1\}$tan pronto como$n>2$. Esto es suficiente para hacer el núcleo normal de$H$en$G$trivial, y por lo tanto la acción de$D_n$en el conjunto cociente de la izquierda$D_n/H$(de tamaño$n$) fiel.