El orden máximo de los elementos de un grupo y el número de elementos que tienen ese orden

Estuve leyendo este artículo sobre la cantidad de elementos que tienen el orden máximo de un grupo, donde se prueba que si tienes un grupo$G$y si$m = \max\{o(g) : g ∈ G\}$es finito y exactamente$k$elementos de$G$tener orden$m$, dónde$k$es finito, entonces G es finito y tenemos el siguiente límite superior

$$|G| ≤\frac{mk^2}{\varphi(m)}.$$ Y luego dice lo siguiente:

Usando la notación del Teorema A, notamos que si$G$tiene exactamente$k\leq\infty$elementos de orden máximo, entonces sólo hay un número finito de posibilidades para$m$desde$\varphi(m)$divide$k$.

Donde el Teorema A es el teorema mencionado anteriormente. Mi pregunta es si el hecho de que$\varphi(m)|k$es cierto y por qué.
Me parece que esto podría ser cierto para grupos finitos, pero nuevamente no sé la prueba, si es que existe. Además, si esto es falso, agradecería que alguien pudiera dar un contraejemplo.