Imagen homomórfica de un grupo alterno.

Question

Imagen homomórfica de un grupo alterno.

Matemáticas
teoría de grupos
álgebra abstracta
grupos simétricos
grupo-homomorfismo
solución-verificación

Kim

Estoy resolviendo el siguiente problema:

Si $f:S_n\rightarrow S_n$ es un homomorfismo de grupos, demuestre que $f(A_n)\subseteq A_n.$ (Aquí, $S_n$ es un grupo simétrico de grado $n$ , y $A_n$ es un grupo alterno de grado $n.$ )

Para $n=2,$ es banal Dejar $n\geq3.$ Primero mostramos que para cualquier $3$ -ciclo $(abc)\in S_n,$ su imagen $f((abc))$ es par . Supongamos, por el contrario, que $f((abc))$ es raro _ Desde $(abc)^3=(1),$ $f((abc))^3=f((abc)^3)=f((1))=(1)$ . (Tenga en cuenta que $f$ es un homomorfismo). De este modo, $f((abc))^3=(1).$ Sin embargo, $(1)$ es $even$ y dado que asumimos que $f((abc))$ es extraño , $f((abc))^3$ es raro _ ¡Esto es una contradicción! De este modo $f((abc))$ es par . Como cada elemento $\sigma$ de $A_n$ (es decir, todas las permutaciones pares ) es un producto de $3$ -ciclos ( Enlace ), podemos escribir $\sigma = (a_1b_1c_1)\cdots(a_nb_nc_n).$ Entonces, $f(\sigma)=f((a_1b_1c_1)\cdots(a_nb_nc_n))=f((a_1b_1c_1))\cdots f((a_nb_nc_n)).$ Como cada $f((a_1b_1c_1)),\dots,f((a_nb_nc_n))$ es par , $f(\sigma)$ también es par . Resulta que $f(A_n)\subseteq A_n$ !

¿Es correcto mi argumento?

Arturo Magidín

Sí; pero sería más sencillo notar que

f (a c b) = (f (a b c))^{- 1}

$f(acb) = (f(abc))^{-1}$ , y

f (a b c) = f ((a c b)^{2}) = (f (a c b))^{2}

$f(abc) = f((acb)^2) = (f(acb))^2$ es el cuadrado de un elemento de

S_{n}

$S_n$ , y por lo tanto debe estar en

A_{n}

$A_n$ .

Kim

@ArturoMagidin Oh, no lo había pensado de esa manera. ¡Gracias!

Respuestas (1)

Imagen homomórfica de un grupo alterno.

Sí; pero sería más sencillo notar que $f(acb) = (f(abc))^{-1}$ , y $f(abc) = f((acb)^2) = (f(acb))^2$ es el cuadrado de un elemento de $S_n$ , y por lo tanto debe estar en $A_n$ .
@ArturoMagidin Oh, no lo había pensado de esa manera. ¡Gracias!

Aitor Iríbar López · Answer 1

Sí, es correcto. De hecho, una vez que haya demostrado que para $n \geq 5$ , el único subgrupo normal propio de $S_n$ es $A_n$ , entonces desde $\ker f$ es normal si $\ker f = S_n$ , $f$ es el mapeo cero, si $\ker f =A_n$ entonces $f(A_n)=(1)$ y si $\ker f = (1)$ , entonces $f$ es biyectiva y por lo tanto envía subgrupos normales a subgrupos normales y en ese caso, $f(A_n)=A_n$ .

Editar: Esto no es cierto para $n=4$ porque $S_4/V_4 \cong S_3$ (dónde $V_4 = \left\langle e, (12)(34), (23)(14), (13)(24) \right\rangle$ es el grupo de Klein), que se puede incrustar en $S_4$ sin contener el todo $A_4$ .

Imagen homomórfica de un grupo alterno.

Kim

Arturo Magidín

Kim

Respuestas (1)

Aitor Iríbar López

Número de homomorfismos ϕ:S4→D4ϕ:𝑆4→𝐷4 \phi: 𝑆_4 \to 𝐷_4

¿La acción regular de grupo de GGG sobre sí misma es doblemente transitiva? [cerrado]

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