Explicación de prueba: Teorema de Cayley

Question

Explicación de prueba: Teorema de Cayley

Matemáticas
teoría de grupos
grupos finitos
álgebra abstracta
prueba-explicación

usuario322548

Teorema de Cayley (en mi clase): Sea $G$ ser un grupo finito de orden $n$ . Entonces, $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ .

Hago mi mejor esfuerzo para entender la prueba de este teorema, pero parece que no puedo entenderlo completamente. Mi mayor área problemática es entender qué es exactamente lo que describe $\phi$ , el isomorfismo utilizado en la prueba. alguien puede describir $\phi$ tanto informal como formalmente?

Astyx

¿Cuál es la prueba que se le presentó?

donantonio

Quicky: para cualquier

g

$\;g\;$ , el

n

$\;n\;$ productos

g x, x \in G

$\;gx\;,\;\;x\in\Bbb G\;$ definir una permutación en el

n

$\;n\;$ letras que son los elementos de

G

$\;G\;$ . Identificas el grupo de permutaciones con

S_{n}

$\;S_n\;$ y la permutación anterior definida por

g

$\;g\;$ a través del homomorfismo

ϕ

$\;\phi\;$ . Debe haber decenas de miles de páginas en la web que se ocupen de esto, y debe haber una que le resulte agradable de leer y comprender.

Respuestas (2)

Explicación de prueba: Teorema de Cayley

Quicky: para cualquier $\;g\;$ , el $\;n\;$ productos $\;gx\;,\;\;x\in\Bbb G\;$ definir una permutación en el $\;n\;$ letras que son los elementos de $\;G\;$ . Identificas el grupo de permutaciones con $\;S_n\;$ y la permutación anterior definida por $\;g\;$ a través del homomorfismo $\;\phi\;$ . Debe haber decenas de miles de páginas en la web que se ocupen de esto, y debe haber una que le resulte agradable de leer y comprender.

noah schweber · Answer 1

He aquí un argumento informal:

quieres mostrar eso $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ (para $n=\vert G\vert$ ). Bueno, ¿cómo demuestras que algo es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ ? ¡Comportamiento! Elementos de $S_n$ se entienden por cómo permutan el conjunto $[n]=\{1, 2, . . . , n\}$ . Entonces, para mostrar que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ , lo que necesitamos es una máquina para hacer lo siguiente:

tomar en un $g\in G$ .
Escupir una permutación $\pi_g\in S_n$ .

La esperanza es que el mapa $h: G\rightarrow S_n: g\mapsto \pi_g$ será un homomorfismo de $G$ a $S_n$ , y que será inyectiva; entonces $G$ será isomorfo a $im(h)$ .

Así que esto se reduce a:

¿Cómo puedo pensar en un elemento de $g$ como permutar algunos $n$ -conjunto de elementos?

esto es dificil porque $G$ es un grupo abstracto - no tenemos idea de lo que $G$ está "destinado a hacer". Así que tenemos que inventar alguna interpretación de $G$ desde cero!

Por suerte, hay un natural $n$ -conjunto de elementos por ahí: $G$ ¡sí mismo! Entonces, ¿hay alguna manera de que podamos pensar en un elemento de $G$ permutando todo el conjunto $G$ ?

¡La respuesta es sí! Dado un elemento $g$ , considere el mapa de $G$ a $G$ definido como

π_{gramo} : a \mapsto gramo \cdot a .

$\pi_g: a\mapsto g\cdot a.$ Cada

π_{g}

$\pi_g$ es una permutación de

G

$G$ , tenemos

π_{g} = π_{h}

$\pi_g=\pi_h$ si y si

g = h

$g=h$ , y

π_{g} \circ π_{h} = π_{g h}

$\pi_g\circ \pi_h=\pi_{gh}$ (¿Ves por qué estos hechos son ciertos?); entonces el mapa

h : g \mapsto π_{g}

$h: g\mapsto \pi_g$ es de hecho un homomorfismo de grupo inyectivo de

G

$G$ al grupo de permutaciones de

G

$G$ . . .

. . . pero este último grupo es sólo $S_n$ , renombrado!

Me encantó el estilo de escritura fácil y fluido, se necesita un esfuerzo para escribir esto con claridad.

Astyx · Answer 2

Para $g\in G$ , denota $\phi_g:x\mapsto gx$

$\phi_g$ es una permutación de G.

Y lo que es más $\phi_g \circ\phi_{g'} = \phi_{gg'}$ y $\phi_e = id$ , de este modo $\{\phi_g, g\in G\}$ es un subgrupo de $\mathfrak S(G)$ (el conjunto de permutaciones de $G$ )

Ahora considere la función $f:g\mapsto\phi_g$ . Probaremos que $f$ es un isomorfismo y este será el Teorema de Cayley.

Primero mira eso $f(g)\circ f(g') = f(gg')$ (véase más arriba)

Entonces nota $f(g)=id \iff g=e$ de este modo $\ker f = e$ y por lo tanto $f$ es inyectable. Desde $G$ es finito de orden n, y también lo es $\{\phi_g, g\in G\}$ , lo que sigue es que $f$ es biyectiva y por lo tanto es un isomorfismo.

De este modo $G$ y $\{\phi_g, g\in G\}$ son isomorfos, y dado que $\{\phi_g, g\in G\}$ es un subgrupo de $\mathfrak S(G)$ , deducimos que G es isomorfo a un subgrupo de $S_n$

Explicación de prueba: Teorema de Cayley

usuario322548

Astyx

donantonio

Respuestas (2)

noah schweber

sergio parreiras

usuario856333

Astyx

El orden máximo de los elementos de un grupo y el número de elementos que tienen ese orden

acción de grupo y automorfismo de un grupo

¿Qué tan poderoso es el teorema de Cayley?

¿Cuántos grupos hay en un conjunto finito?

¿Qué tipos de grupos hay donde cada elemento (no trivial) tiene un orden primo?

El grupo es isomorfo al producto directo de sus subgrupos

El producto central de dos subgrupos cíclicos de primer orden de potencia para un ppp es isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos de primer orden de potencia

Orden de grupo de automorfismos cuando todos los elementos que no son de identidad tienen el mismo orden

Mesa Cayley con la identidad a lo largo de una diagonal

Mostrar que las clases laterales izquierdas dividen el grupo