En términos sencillos, ¿qué es un grupo afín general?

Estoy tratando de calcular el número total de subgrupos para cada subgrupo en S 5 . Un subgrupo en S 5 es el grupo afín general GRAMO A ( 1 , 5 ) .

El mismo sitio web proporciona una definición del grupo afín general. Para alguien nuevo en la teoría de grupos, la página no es demasiado amigable para principiantes. La página de Wikipedia no es mucho mejor. He intentado imaginar un gráfico de Cayley, pero no sé por dónde empezar.

¿Qué es un grupo afín general en términos simples?

si conoce el grupo lineal general, entonces se trata básicamente de automorfismos lineales más traslaciones (transformaciones que cambian el origen de un espacio vectorial). El truco es que registra lo que sucede cuando cambia y luego hace algo de automorfismo lineal. Básicamente son matrices invertibles, pero puedes mover el origen.
@AndresMejia Gracias por la respuesta! Debo aclarar que actualmente estoy tomando teoría de grupos en la escuela secundaria. No estoy completamente seguro de a qué se refieren los términos "grupo lineal general" y "automorfismo". ¿Te importaría elaborar?
Seguro. Es mejor pensar en los números reales por ahora. El grupo lineal general consiste en matrices que tienen una inversa. La operación de grupo es la multiplicación de matrices (o composición de funciones lineales). Un requisito de las funciones lineales o matrices es que envíen cero a cero. Las transformaciones afines no tienen que hacer esto. Automorfismo simplemente significa invertible. Una forma de empezar es que son mapas que combinan reflexión, dilatación, rotación y traslación.

Respuestas (1)

GRAMO A ( norte , q ) para q una potencia prima es el grupo de matrices que consta de matrices en METRO ( norte + 1 ) × ( norte + 1 ) ( F q ) de la forma

[ A v 0 1 ]
dónde A es un invertible norte × norte matriz y v es de longitud norte . GRAMO A ( norte , F ) para F un campo arbitrario es muy similar, F reemplazando F q .

GRAMO A ( 1 , 5 ) por lo tanto, puede representarse como el grupo de 5 × 4 = 20 matrices con entradas en F 5 de la forma

[ a b 0 1 ]
con a ≠ 0 ; que es un subgrupo de S 5 se sostiene sólo en el sentido abstracto. GRAMO A ( 2 , R ) es famoso en SVG como el grupo de todas transformlas cadenas (invertibles):
matriz(a,b,c,d,e,f) = [ a C mi b d F 0 0 1 ]
Cuando se aplica a un punto 2D ( X , y , 1 ) T , a = b = C = d = 0 da una traducción, mi = F = 0 da una transformación lineal (rotación, reflexión, corte, etc.) y el caso general realiza la parte lineal y luego la traslación.

¡Gracias por la respuesta! Si no te importa dar más detalles, tengo un par de preguntas. 1) ¿Es un grupo de matrices solo un conjunto de matrices con una operación (de ser así, cuál es la operación)? 2) ¿Le importaría explicar qué F q y un "campo" es?
Los grupos @StackOverflow Matrix tienen la multiplicación de matrices como operación de grupo y F q es la notación estándar para el campo finito en q elementos.
¡Gracias por la respuesta de nuevo! Entiendo que un campo es un conjunto donde la suma, la resta, la multiplicación y la división se definen y definen al igual que en los números racionales y reales. No estoy seguro de qué es un "campo finito en q Sin embargo, parece que los elementos ". ¿Te importaría elaborar?
Si no te importa que te pregunte más, ¿cómo conseguiste 5 × 4 = 20 matrices para GRAMO A ( 1 , 5 ) ?
@StackOverflow Puede buscar Wikipedia en campos finitos; 20 surge debido a 4 opciones distintas de cero para a (para asegurar la invertibilidad) y 5 para b .
Para pag principal, F pag es solo Z / pag Z , los números enteros módulo pag . Cualquier otro campo finito es una simple extensión algebraica de algún F pag por un elemento adicional que satisface una ecuación polinomial, al igual que C se obtiene de R al unir un elemento i que satisface i 2 + 1 = 0 .
@StackOverflow No está claro si esto es lo que estás preguntando, pero el 20 proviene de la combinatoria básica. Tienes 4 opciones para a y 5 opciones para b . Ver aquí _
En términos sencillos, ¿qué es un grupo afín general?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v