Por una representación de permutación de un grupo finito , nos referimos a un homomorfismo de a , el grupo de permutación (completo) en letras.
Por una representación lineal de un grupo finito , nos referimos a un homomorfismo de a , el grupo (completo) de transformaciones lineales invertibles del espacio vectorial a (sobre un campo).
Hay aplicaciones interesantes de ambas representaciones. Por ejemplo, un grupo de orden siempre contiene un subgrupo de orden , que se puede probar fácilmente mediante la representación de permutación.
Mientras que los grupos de orden son solucionables , lo que puede probarse fácilmente mediante la representación lineal de grupos; además, hay demostraciones sin usar representaciones lineales, pero son difíciles (o largas).
Pregunta: ¿Existe(n) un(os) teorema(s) en la teoría de grupos cuya demostración por representación de permutación sea más fácil que la representación lineal? Me gustaría conocer diferentes (= más de uno) teoremas de este tipo si están disponibles.
Las pruebas "estándar" de la simplicidad de los grupos clásicos finitos como hacer un uso intensivo de las representaciones de permutación y la teoría general de los grupos de permutación. El paso final en las demostraciones utiliza el Teorema de Iwasawa, que es criterio para que un grupo de permutación primitivo sea simple.
Por supuesto, la definición de estos grupos es en términos de grupos de matrices sobre campos finitos, por lo que, inevitablemente, partes de la prueba implican examinar la acción del grupo en el espacio vectorial subyacente. Para los grupos lineales, muestra que la acción en -subespacios dimensionales es -transitivo, y que el punto estabilizador tiene un subgrupo normal abeliano con ciertas propiedades que necesitas para aplicar el Teorema de Iwasaw.
Pero aun así, nunca he pensado en estas pruebas como involucrando lo que solemos llamar Teoría de la Representación.