Subgrupos de grupos simétricos suficientemente grandes / explicación del teorema de Cayley

Question

Subgrupos de grupos simétricos suficientemente grandes / explicación del teorema de Cayley

Matemáticas
teoría de grupos
grupos finitos
grupos simétricos

El'endia Starman

Aquí está la pregunta: ¿ todo grupo finito es un subgrupo de un grupo simétrico de orden suficientemente grande? Más específicamente, si un grupo $G$ tiene orden $n$ , entonces es cierto que $G \le S_{n}$ ?

Por ejemplo, ambos grupos de orden $4$ puede encontrarse en $S_4$ . $\{(1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)\} \cong C_4$ y $\{(1), (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)\} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . También, en general, $C_n, A_n, D_{2n}, S_n \le S_n$ .

Después de una breve investigación, no pude encontrar un subgrupo en $S_4$ eso era congruente con $Q$ , la unidad de cuaterniones, pero me sorprendería bastante si $Q \not\le S_8$ .

Bien, la respuesta es "sí", y esto se conoce como el Teorema de Cayley . Sin embargo, el enlace apunta a una página sin prueba y las pruebas dadas en Wikipedia no son muy claras, por lo que realmente agradecería una prueba clara, intuitiva y conceptual del Teorema de Cayley.

eric torres

¿Cuál es la acción de cada elemento de

Q

$Q$ sobre los elementos de

Q

$Q$ . Es decir, ¿cómo "la multiplicación a la izquierda por el elemento

x

$x$ permutar los elementos de

Q

$Q$ mientras iteras

x

$x$ a través de

Q

$Q$ ? Esto debería sugerirle que la tabla de multiplicar de un grupo se puede incrustar en permutaciones de los elementos del grupo...

David

Teorema de Cayley .

El'endia Starman

@David: el teorema de Cayley es exactamente lo que sospechaba.

izq.

Consulte math.stackexchange.com/a/854561/589 .

izq.

Explique por qué las pruebas en Wikipedia no funcionan para usted.

El'endia Starman

@lhf: Básicamente, demasiada jerga y poca intuición. Soy nuevo en el área de grupos por lo que no me he acostumbrado a toda la jerga. La respuesta de mesel es exactamente lo que estaba buscando.

Respuestas (3)

Subgrupos de grupos simétricos suficientemente grandes / explicación del teorema de Cayley

¿Cuál es la acción de cada elemento de $Q$ sobre los elementos de $Q$ . Es decir, ¿cómo "la multiplicación a la izquierda por el elemento $x$ permutar los elementos de $Q$ mientras iteras $x$ a través de $Q$ ? Esto debería sugerirle que la tabla de multiplicar de un grupo se puede incrustar en permutaciones de los elementos del grupo...
@David: el teorema de Cayley es exactamente lo que sospechaba.
Explique por qué las pruebas en Wikipedia no funcionan para usted.
@lhf: Básicamente, demasiada jerga y poca intuición. Soy nuevo en el área de grupos por lo que no me he acostumbrado a toda la jerga. La respuesta de mesel es exactamente lo que estaba buscando.

lee mosher · Answer 1

en cualquier grupo $G$ , cualquier elemento $g \in G$ define una función de $G$ a sí mismo denotado $L_g : G \to G$ , llamado "multiplicación izquierda":

L_{gramo} (h) = gramo h

$L_g(h) = gh$ Los axiomas de grupo muestran que esta función es inyectiva

L_{gramo} (h) = L_{gramo} (h^{'}) ⟺ gramo h = gramo h^{'} ⟺ h = h^{'}

$L_g(h) = L_g(h') \iff gh = gh' \iff h=h'$ y que está sobre

L_{gramo} ({gramo}^{- 1} h) = gramo {gramo}^{- 1} h = h

$L_g(g^{-1} h) = g g^{-1} h = h$ Por lo tanto la fórmula

g \mapsto L_{g}

$g \mapsto L_g$ define una función

G \mapsto S y m (G)

$G \mapsto Sym(G)$ , dónde

S y m (G)

$Sym(G)$ denota el "grupo simétrico" del conjunto

G

$G$ , a saber, el grupo de auto-biyecciones de

G

$G$ . Los axiomas de grupo también muestran que la función

g \mapsto L_{g}

$g \mapsto L_g$ es un homomorfismo

L_{{gramo}_{1}} \circ L_{{gramo}_{2}} (h) = {gramo}_{1} ({gramo}_{2} (h)) = ({gramo}_{1} {gramo}_{2}) (h) = L_{{gramo}_{1} {gramo}_{2}} (h)

$L_{g_1} \circ L_{g_2} (h) = g_1(g_2(h)) = (g_1 g_2)(h) = L_{g_1 g_2}(h)$ y que es inyectable

L_{gramo} (h) = h ⟺ gramo h = h ⟺ gramo = I d

$L_g(h)=h \iff gh=h \iff g=Id$ Por lo tanto,

G

$G$ incrustado en

S y m (G)

$Sym(G)$ que es isomorfo a

S_{| G |}

$S_{|G|}$ ; que el isomorfismo se obtiene enumerando los elementos de

G

$G$ .

mesel · Answer 2

La intuición es que

gramo GRAMO = GRAMO

$gG=G$ para cualquier

g \in G

$g\in G$ lo que significa que cada

g

$g$ de permuta los elementos de

G

$G$ . Sorprendentemente, los elementos de permutaciones correspondientes constituyen un subgrupo de

S_{G}

$S_G$ que es isomorfo a

G

$G$ .

Si $G$ es simple, $G$ se puede incrustar en $A_n$ dónde $n$ es el índice más pequeño del subgrupo no trivial de $G$ .

¡Ay! ¡Ese es justo el tipo de intuición que estaba buscando! ¡Muy apreciado!

Alejandro Gruber · Answer 3

Sí. $G$ es siempre un subgrupo de $S_{|G|}$ .

En una nota relacionada, la cuestión de la más pequeña $n$ tal que $G\leq S_n$ es, en general, desconocido.

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