¿Qué tan mal está? - Una "prueba" de la FTC que se me ocurrió en la escuela secundaria agitando la mano.

Su argumento puede convertirse en una prueba correcta cuando se nos permite asumir que la convergencia

$$\lim_{h\to0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x)$$ es uniforme en $x$. Esto significa que, dado cualquier $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$tal que $$\left|{F(x+h)-F(x)\over h}-f(x)\right|<\epsilon\qquad(a\leq x\leq b, \ 0<h<\delta)\ .$$ Si este es el caso, tenemos $$f(x) h-\epsilon h\leq F(x+h)-F(x)=f(x)h + \epsilon h\qquad(a\leq x\leq b, \ 0<h<\delta)\ .\tag{1}$$ ahora elegimos $N$tan grande que $h:={b-a\over N}<\delta$y que al mismo tiempo $\sum_{i=1}^N f(x_i) h$está dentro $\epsilon$de $\int_a^b f(x)\ dx$. Entonces $(1)$implica (¡tenga en cuenta la suma telescópica!) $$\sum_{i=1}^N f(x_i) h-\epsilon(b-a)\leq F(b)-F(a)\leq \sum_{i=1}^N f(x_i) h+\epsilon(b-a)\ ,$$ de modo que $$\left|\int_a^b f(x)\ dx-\bigl(F(b)-F(a)\bigr)\right|\leq\bigl(1+b-a\bigr)\epsilon\ .$$ Como $\epsilon>0$fue arbitraria la fórmula deseada sigue.