(Desacuerdo entre usuarios acreditados) Integral indefinida vs. Integral definida vs. Anti-derivada

Eric Towers y Greg Martin están de acuerdo con respecto a lo que es una integral "definida". Se refiere a un símbolo de la forma

Donde Eric Towers y Greg Martin no están de acuerdo es en el uso de la frase "integral indefinida". ¿Dónde está el desacuerdo? Bueno, hay una distinción entre hablar de una función$F$tal que$F'=f,$y hablando de un conjunto de funciones$\{F:F'=f\}.$Cada elemento de este conjunto se puede escribir en la forma$F+C,$dónde$C$es una constante: un número real, en el caso del cálculo. Eric Martin dice que "antiderivada" se refiere al primer objeto matemático. Greg Martín está de acuerdo. Pero Eric Towers también dice que "integral indefinida" también se refiere al primer objeto matemático, por lo que es sinónimo de "antiderivada", mientras que Greg Martin dice que "integral indefinida" en realidad no se refiere al primer objeto, sino al segundo objeto. : el conjunto de funciones con la propiedad antes mencionada.

Este es un desacuerdo bastante intrascendente que en última instancia se reduce a la semántica. "Integral indefinida" ni siquiera es una terminología matemática legítima. Esto quiere decir que, aunque es una terminología comúnmente utilizada en el plan de estudios de cálculo de pregrado, nunca verá que los recursos académicos publicados por matemáticos la utilicen para la investigación matemática. Solo lo ves usado por recursos pedagógicos. No es una terminología con un significado basado en el consenso, y no es estándar entre los matemáticos. Tampoco es "integral definida", como ya señalé. Los matemáticos no hablan en términos de integrales definidas e integrales indefinidas. Hablan en términos de antiderivadas, y luego hablan de integrales de Riemann, integrales de Lebesgue, u otro tipo de integrales que se definen rigurosamente en el marco del análisis real y la teoría de la medida. Todo esto es solo para decir que no existe una definición comúnmente aceptada para ninguna de estas etiquetas, ya que no son etiquetas utilizadas fuera de este contexto muy específico de la educación en cálculo. De ahora en adelante, si desea ser más claro y evitar la ambigüedad, solo hable de antiderivadas y, si es necesario, especifique una antiderivada o hable sobre el conjunto de antiderivadas de otra manera, para una máxima claridad. Me abstendría de usar una terminología específica del aula si está hablando con personas en los niveles más altos de matemáticas. ya que no son etiquetas usadas fuera de este contexto muy específico de la educación en cálculo. De ahora en adelante, si desea ser más claro y evitar la ambigüedad, solo hable de antiderivadas y, si es necesario, especifique una antiderivada o hable sobre el conjunto de antiderivadas de otra manera, para una máxima claridad. Me abstendría de usar una terminología específica del aula si está hablando con personas en los niveles más altos de matemáticas. ya que no son etiquetas usadas fuera de este contexto muy específico de la educación en cálculo. De ahora en adelante, si desea ser más claro y evitar la ambigüedad, solo hable de antiderivadas y, si es necesario, especifique una antiderivada o hable sobre el conjunto de antiderivadas de otra manera, para una máxima claridad. Me abstendría de usar una terminología específica del aula si está hablando con personas en los niveles más altos de matemáticas.

Hay un desacuerdo entre los dos, por lo que no los está malinterpretando, así que tendré que estar de acuerdo con Greg Martin en este caso. Cuando nos enseñan estos términos, probablemente olvidamos el contexto en el que nuestro maestro/profesor los estaba usando específicamente, y todo termina convirtiéndose en sinónimo de cómo pensamos sobre estas cosas, pero hay una diferencia. Para una fácil identificación, una integral tiene el gran$\int$mientras que la antiderivada es la solución. Entonces para la expresión

¿Por qué es esto importante? Precisión del lenguaje, supongo. Pero también la diferencia entre las dos cosas (siendo una integral el área bajo una curva y siendo una antiderivada... una antiderivada) es también la razón por la cual el Teorema Fundamental del Cálculo es significativo en primer lugar. Si los dos fueran sinónimos por definición, entonces este Teorema no dice nada; pero lo hace, porque son diferentes.

La gente creció con diferente literatura matemática. Es común que las personas usen diferentes palabras para la misma noción o usen la misma palabra pero significan cosas diferentes. Qué versión usar depende principalmente del gusto de cada uno y del contexto; realmente no hay un acuerdo único para todos. Siempre que tenga dudas con una noción, uno debe mirar su definición.

Integrales indefinidas vs antiderivadas

Echemos un vistazo a dos ejemplos de referencias en cálculo.

• Cálculo diferencial e integral vol. 1 por Richard Courant
• Cálculo (octava edición) de James Stewart

En Courant,

... En consecuencia, escribimos

$$\int_a^x f(u)\;du=\Phi(x)$$ Llamamos a esta función$\Phi(x)$una integral indefinida de la función$f(x)$.

... Una función$F(x)$tal que$F^{\prime}(x)=f(x)$se llama función primitiva de$f(x)$, o simplemente una primitiva de$f(x) ;$esta terminología sugiere que la función$f(x)$surge de$F(x)$por diferenciación.

En Estuardo,

... Una función$F$se llama antiderivada de$f$en un intervalo$I$si$F^{\prime}(x)=f(x)$para todos$x$en$I$.

... la notación$\int f(x) d x$se usa tradicionalmente para una antiderivada de$f$y se llama integral indefinida . De este modo

$$\int f(x) d x=F(x) \quad \text { means } \quad F^{\prime}(x)=f(x)$$

Obviamente, estos dos autores tienen diferentes definiciones de "integral indefinida".

En Stewart, "integral indefinida" se define como sinónimo de la noción de "antiderivada" en su libro; esto es equivalente a la "primitiva" de Courant, que es esencialmente una solución a una ecuación diferencial.

En Courant, la noción de "integral indefinida" significa el mapa$x\mapsto \int_a^x f(u)\;du\;.$

Integrales definidas

No hay duda del significado de$\int_a^b f(x)dx$cuando se refiere a una integral de Riemann, es decir, "integral definida" en cálculo. Lo que quizás se pregunte, como muestra su tercera pregunta, es que, ¿debería uno llamar

Esto es similar a preguntar si uno trata "$\cos(x)$" como un número o una función. Para hacerlo preciso, se debe decir

por cada valor de$x$,$\int_a^x f(u)\;du$es una "integral definida";

o

el mapa$x\mapsto \int_a^x f(u)\;du$es una "integral indefinida" en el sentido de Courant.

Otro posible desacuerdo es que podemos decir

La siguiente declaración dada por Greg Martin es correcta.

"Antiderivada" e "integral indefinida" no son sinónimos.

No son sinónimos. Si tenemos un conjunto que contiene las funciones que al derivar da$\cos x$, entonces los elementos de ese conjunto serán de tipo$(\sin x+3),(\sin x+5)\cdots$etc. Este conjunto completo se llamará integral indefinida de$\cos x$y cada uno de sus elementos se llamará antiderivada de$\cos x$, claramente este conjunto tendrá infinitos elementos, es decir, infinitas antiderivadas de$\cos x$y todos serán llamados bajo un solo nombre como integral indefinida de$\cos x$, Por lo tanto, la integral indefinida denota un conjunto y las antiderivadas son elementos de este conjunto. Todas las antiderivadas (o elementos del conjunto) difieren en una constante y su familia se llama integral indefinida.

Por lo tanto, ahora podemos responder fácilmente a su siguiente pregunta:

@EricTowers Entonces, incluso si se especifica la constante (por ejemplo, c = 3), sin (x) + 3 todavía se llamará una integral indefinida de cos (x)? – tratando de ser bestial

No$\sin x +3$no se llamará integral indefinida de$\cos x$más bien se llamará una antiderivada de$\cos x$. Del mismo modo, todas las funciones de tipo$\sin x+C$se llamará antiderivada de$\cos x$y su familia/conjunto se llama integral indefinida de$\cos x$

En otras palabras, la integral indefinida dará una familia de funciones, mientras que la antiderivada serán los miembros de esa familia que difieren solo por una constante.

Si quieres encontrar una antiderivada$F_0$de una función$f$, que es continua, entonces puedes usar el teorema fundamental del cálculo.

Ahora siga variando el límite inferior y seguirá obteniendo diferentes antiderivadas. Juntos se pueden llamar integrales indefinidas de función$f$