Integración indefinida por partes

Me dieron un ejercicio para resolver que te pide que pruebes:

∫ 0 1 F ( r ) r d r = 0

sabiendo que:

∫ 0 1 F ( t ) d t = 0

Después de hacer la integración por partes terminé con:

∫ F ( r ) r d r = ( ∫ F ( r ) d r ) r − ∫ ∫ F ( r ) d r d r

Mi pregunta es, como debo proceder para evaluar la integral con mis limites de integracion entre 0 y 1. Probe con Barrow, pero no se que hacer con la integral doble y sus limites

"Me dieron un ejercicio para resolver..." ¿De dónde es este ejercicio?
"No sé qué hacer con la integral doble y sus límites" No, no tienes una integral doble.
Suponer F ′ ( X ) = F ( X ) . La integración por partes dice que
∫ 0 1 F ( X ) X   d X = F ( X ) X ∣ 0 1 − ∫ 0 1 F ( X ) d X .

Respuestas (2)

No puedes probarlo, ya que es falso. Si F ( X ) = pecado ⁡ ( 2 π X ) , entonces ∫ 0 1 F ( X ) d X = 0 , pero ∫ 0 1 X F ( X ) d X = − 1 2 π ≠ 0

Supongo que el que escribió el ejercicio olvidó agregar "demostrar, si es posible". ¡Muchas gracias!

No sirve para una función lineal:

∫ 0 1 ( X − 1 2 ) d X = ( X 2 2 − X 2 ) | 0 1 = 0 ,     pero ∫ 0 1 ( X − 1 2 ) X d X = ( X 3 3 − X 2 4 ) | 0 1 = 1 12 ≠ 0.

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