Ayuda a entender lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo

Solo ha declarado vagamente la FTC sin dar las suposiciones apropiadas.

( Primer teorema fundamental del cálculo. ) Sea${[a,b]}$sea ​​un intervalo compacto de longitud positiva. Dejar${f: [a,b] \rightarrow {\bf C}}$Sea una función continua, y sea${F: [a,b] \rightarrow {\bf C}}$sea ​​la integral indefinida${F(x) := \int_a^x f(t)\ dt}$. Entonces${F}$es diferenciable en${[a,b]}$, con derivada${F'(x) = f(x)}$para todos${x \in [a,b]}$. En particular,${F}$es continuamente diferenciable.

( Segundo teorema fundamental del cálculo. ) Sea${F: [a,b] \rightarrow {\bf R}}$sea ​​una función derivable, tal que${F'}$es Riemann integrable. Entonces la integral de Riemann${\int_a^b F'(x)\ dx}$de${F'}$es igual a${F(b) - F(a)}$. En particular, tenemos${\int_a^b F'(x)\ dx = F(b)-F(a)}$cuando sea${F}$es continuamente diferenciable.

Estas dos versiones no son lo mismo. El primero te dice que cualquier función continua tiene una "antiderivada". El segundo te dice algo sobre la integral definida de la derivada de una función diferenciable. Además, tenga en cuenta que estos dos teoremas tienen diferentes conjuntos de suposiciones .

Nótese también que la diferenciabilidad de$F$está en la conclusión de (I) sino en la suposición de (II).

Observación.

En un curso de análisis real más avanzado, verá que las dos versiones de FTC aún se mantienen con suposiciones mucho más débiles (con un costo leve que solo tiene uno$F'(x)=f(x)$para casi todos$x\in[a,b]$en la celebración del FTC I). Por otro lado, las demostraciones de las dos versiones son bastante diferentes. Véase, por ejemplo , este conjunto de excelentes notas de conferencias de Terry Tao.

Definir integrales$\int_{[a,b]} f(t)\>dt$como límites de las sumas de Riemann en su forma favorita. Las dos versiones de la FTC están relacionando tales integrales con la noción de derivada, lo que surge como un milagro. Las dos fórmulas son:

Por supuesto, uno tiene que probar ambas versiones, pero basta con trabajar duro para una de estas pruebas, y la otra es una consecuencia fácil. Por lo general, uno comienza con$(1)$, pero también se podría empezar con$(2)$.