¿El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integración es el 'opuesto' de la diferenciación?

A menudo he leído que el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) nos dice que la integración es lo opuesto a la diferenciación. Siempre he encontrado este resumen confuso, así que expondré lo que creo que la gente quiere decir cuando hace tal declaración.

La Primera FTC implica la existencia de antiderivadas para cada función, F , que es continua en un intervalo particular, digamos [ a , b ] . En general, denotamos esta antiderivada como F . diferenciando F vuelve a nuestra función original, F . Entonces, cuando la gente dice que 'la integración es lo opuesto a la diferenciación', lo que quieren decir es que una antiderivada de una función se puede calcular usando una integral definida.

La Segunda FTC es más poderosa que la Primera FTC, ya que nos dice que las integrales definidas se pueden calcular usando la antiderivada de una función (que generalmente es más útil que saber que una posible antiderivada de F se puede calcular usando una integral definida, F ). Para la Segunda FTC, no entiendo cómo esto se relaciona en absoluto con 'la integración es lo opuesto a la diferenciación'. La Segunda FTC nos muestra el vínculo entre antiderivadas (integrales indefinidas) e integrales definidas. Es extremadamente útil para tratar de encontrar el área bajo una curva, pero no estoy seguro de cómo se relaciona esto con el hecho de que la integración y la diferenciación son 'opuestos'.

¿Hay algo en el Primer FTC o en el Segundo FTC que tenga una mayor implicación acerca de que la integración es lo opuesto a la diferenciación, o mi entendimiento es correcto?

Dejar d d X sea ​​el operador derivada y sea I sea ​​el operador que toma una función continua F como entrada y devuelve la función gramo ( X ) = ∫ a X F ( t ) d t como salida. El primer teorema fundamental del cálculo nos dice que d d X ∘ I es el operador de identidad. En términos generales, la integración seguida de la diferenciación nos deja donde comenzamos.
Mire también las preguntas relacionadas en la columna de la derecha en la página web (¡escritorio!). Algunas pueden ser interesantes para usted.
@littleO Gracias. Eso tiene mucho sentido. Una cosa que siempre me ha molestado (solo un poco) es que parece que comenzamos con una función F ( t ) y terminar con F ( X ) . Trato de explicarlo diciendo 'no importa qué letra estemos usando, ya que seguimos aplicando la misma regla', pero me pregunto si tienes una mejor explicación.
@Joe Tal vez debería haber nombrado el operador derivado D y declaró que D ∘ I es el operador de identidad. En otras palabras, si F es una función continua, entonces D ( I ( F ) ) = F .

Respuestas (1)

Creo que la primera FTC:

Si F : [ a , b ] → R es continuo entonces F : [ a , b ] → R definido por F ( X ) = ∫ a X F ( t ) d t es diferenciable y F ′ ( X ) = F ( X ) para todos X ∈ [ a , b ] .

es lo que la gente quiere decir cuando dice la integración (que define F ) es la inversa de la diferenciación (ya que hemos encontrado una función con derivada F ).

La segunda CCL

Si F : [ a , b ] → R es Riemann-integrable en [ a , b ] y tenemos una funcion F : [ a , b ] → R tal que F ′ ( X ) = F ( X ) en [ a , b ] , entonces ∫ a b F ( X ) d X = F ( b ) − F ( a ) .

es más una "receta" para encontrar una integral: el objetivo es calcular la integral definida y la herramienta que se nos proporciona es encontrar una antiderivada. Así que no es un inverso como tal, sino un método . Es un poco dudoso, como una antiderivada F no tiene por qué existir en absoluto (excepto cuando F es continuo y el primer FTC nos da uno, pero no explícitamente, pero al menos sabemos que existe alguna solución, pero aún no la tenemos en forma computable). Creo que el primero está más cerca de dar una conexión "inversa" directa entre integración y diferenciación (y se usa a menudo en otros contextos cuando diferenciamos los límites de las integrales, etc.). Pero esa es solo una vista.

El primer FTC se puede resumir como

d d X ∫ a X F ( t ) d t = F ( X )
entonces "Aplicando el operador de integración a F , seguido del operador de diferenciación nos devuelve F de nuevo".

@Henro Brandsma Gracias, esta fue una respuesta muy clara. Pregunté esto en otro comentario, pero me preguntaba si podría arrojar algo de luz sobre esto: una cosa que siempre me ha molestado (solo un poco) es que parece que comenzamos con una función F ( t ) y terminar con F ( X ) . Intento explicarlo diciendo 'no importa qué letra estemos usando, ya que seguimos aplicando la misma regla', pero me preguntaba si tenías una mejor explicación.
X es la variable principal para la diferenciación (en análisis; en física diferenciación a una variable de tiempo t (velocidad, aceleración) es común) en que funciona en R son por defecto F ( X ) . Pero también necesitamos una variable "para integrar", es decir, la integral definida necesita una F ( X ) d X en ese caso. Pero FTC-1 necesitamos el X como un límite para definir una función, por lo que podríamos haber usado y d y pero eso sugiere una segunda dimensión y una integral bidimensional, por lo que usamos otra variable "lineal" para que t d t (como se dijo, bien conocido por las aplicaciones, y las curvas a menudo están parametrizadas).
@Henro Brandsma Ya veo. ¿Y hay alguna diferencia entre F ( X ) y F ( t ) ? creo que no hay porque X y t son solo variables, y en realidad no importa. Lo que importa es que vuelvas a tu función original, F , que tiene el mismo dominio, codominio y rango que antes.
@Joe No, no hay diferencia. Pero es una cuestión de presentación clara y lo que el lector espera.
Muchas gracias. Creo que ha respondido a todas mis preguntas, por lo que voy a aceptar esta respuesta.
@Joe Entonces, para ser muy conciso, esa identidad FTC1 se puede escribir como d d X ∫ a X F = F ( X ) , en el entendimiento de que la variable de integración (variable ligada) no será X (variable libre).
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