¿Qué son realmente los símbolos sin sentido?

Lo que su profesor ha dicho es un enfoque común para tratar de evitar una trampa matemática que ocurre en la mente de muchos estudiantes. En tales ecuaciones, el símbolo real, "x", no importa. Podría ser una "y" o una "z" o una imagen de un orangután. Me gusta más la palabra "arbitrario" que "sin sentido".

Para alguien que "lo entiende", una declaración como "X es un símbolo sin sentido" parece extraña. Sin embargo, es muy fácil para los estudiantes comenzar a asignar significado a las letras. Luego, tienen problemas para resolver la misma ecuación cuando ven "x" reemplazada por una "y". Su profesor simplemente está tratando de evitarlos en el paso. ( Doy clases particulares de matemáticas de vez en cuando. Siempre me duele cuando le digo a un estudiante "resuelva para x", y simplemente no pueden. Luego escribo exactamente la misma ecuación, cambiando "x" por "y" y les digo que " resolver para y", y ahora pueden hacerlo, porque las formas dibujadas por mi lápiz ahora son las formas que esperan ver )

Más adelante, esta declaración se relajará. Una vez que todos lo entiendan, puede comenzar a reconocer que las variables a menudo tienen un significado convencional . Si ves a alguien haciendo matemáticas en un triángulo rectángulo, "c" es la hipotenusa. Si están haciendo física, "c" es la velocidad de la luz. Sin embargo, si su profesor no advirtió a los estudiantes que, en realidad, la elección del símbolo es arbitraria, podrían molestarse mucho al tratar de hacer física en un triángulo rectángulo y sustituir las velocidades de la luz porque vieron el mismo símbolo. , "c", en ambos entornos.

No me gusta especialmente el uso que hace tu profesor de la palabra sin sentido. Las x en su fórmula se llaman convencionalmente variables. La opinión de Quine era que las variables en matemáticas se capturan adecuadamente por la forma en que las usamos en lógica, es decir, como una especie de marcador de posición abstracto, similar a un pronombre en un lenguaje natural. Las variables se cuantifican explícita o implícitamente, y el cuantificador puede ser existencial, lo que significa que la expresión se cumple para algún valor particular, o universal, lo que significa que la expresión se cumple para todos los valores.

Tus x no tienen más sentido que el pronombre "quién" en las siguientes oraciones:

There is someone who is ahead of me in the queue.(Una declaración existencialmente cuantificada que puede ser 'resuelta' para un valor particular de "quién".)

He who hesitates is lost.(Una afirmación universalmente cuantificada que se cumple para todos los "quiénes".)

La exposición de Quine se puede encontrar en dos artículos: "Variables Explained Away" en Proceedings of the American Philosophical Society, vol. 104, núm. 3 (15 de junio de 1960), págs. 343-347; y "La variable" en Ways of Paradox and Other Essays.

Filosóficamente, el profesor obviamente estaba siendo causal: obviamente no existe un "símbolo sin sentido" como un " símbolo" por definición "una cosa que representa o representa otra cosa, especialmente un objeto material que representa algo abstracto". Aquí, x es un símbolo que representa algo, la pregunta entonces es ¿qué representa?

En este contexto abstracto, x se llama indeterminante , sin ningún valor en particular (a diferencia de que x es una variable , es decir, una cantidad desconocida a resolver).

Lo que probablemente quiso decir es que x, siendo un indeterminante, no tiene un valor particular, pero el punto es que este es un polinomio en una variable. Este polinomio podría expresarse con la misma facilidad (como suele suceder) en t , pero se distingue de un polinomio en dos variables.

Para abordar la cuestión de si la cosa a la que apunta x existe, claramente existe, pero es difícil decir qué es esa cosa, aparte de usar una definición circular como la cosa que nos permite hablar sobre polinomios abstractos.

Creo que lo que se quiere decir es que x no es una variable, sino pura sintaxis. Es como cuando los matemáticos definen números complejos como pares ordenados (x, y) de números reales, y luego los escriben como x + yi, donde "+" e "i" son puramente sintaxis. (La notación posterior se relaja para permitir, digamos, i en lugar de 0 + 1i, justificado con teoremas que muestran que si los símbolos se definen correctamente, el "+" sintáctico da el mismo resultado que la operación +).

En este caso, significa que x ^ 2 - 3 es solo una colección de coeficientes, (-3, 0, 1), y se pueden sumar y multiplicar diferentes colecciones de este tipo de acuerdo con varias reglas.

Creo que la idea general es pasar de polinomios como funciones ("dame x y te daré un número") a polinomios como objetos. Pero esto se puede concretar. Suponga que está viendo polinomios sobre el grupo Z/2Z en el que hay exactamente dos números, 0 ("par") y 1 ("impar") con 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 = 1 + 0 , y 1 + 1 = 0. Ahora observe que cualquier valor que elija para x, x^2 + x + 1 es igual a 1. Pero como polinomios sobre un indeterminado ("símbolo sin sentido") x, 1 y x^2 + x + 1 son diferentes (porque las listas (1) y (1, 1, 1) son diferentes).

Cuando el profesor dice que x es un "símbolo sin sentido", ¿qué quiere decir exactamente con eso?

Simplemente significa que puedes pensar en un polinomio "a + bx + cx^2 + ... + dx^n" como la tupla ordenada (a,b,c,...,d), y la "x" y "+" y la notación de exponenciación no son parte del polinomio sino que simplemente están allí para dar una noción sugestiva. Los coeficientes del polinomio son simplemente {a,b,c,...,d}, y puedes definir fácilmente la suma y la multiplicación de polinomios con coeficientes del mismo anillo. Según esta definición, el polinomio en sí ni siquiera incluye qué símbolo se usa como indeterminado, aunque usamos "x" para describir el polinomio. Por ejemplo tenemos que el producto de (1,1) y (1,-1) es (1,0,-1). Esto se describe convencionalmente diciendo que (1+x) * (1-x) = 1-x^2.

Pero la anterior no es la única definición de polinomios en uso. En álgebra, es común hablar de polinomios como si fueran cadenas reales de símbolos escritos, incluidas las 'potencias' de "x" y "+". Hay algunos errores sutiles en el razonamiento que pueden colarse cuando uno usa nociones tan 'intuitivas' de polinomios. Y como era de esperar, será difícil formalizar adecuadamente esta noción sin volver a la definición anterior. Por ejemplo, podemos 'imaginar' que "1 + xy + x^2 + y^3" es un polinomio tanto en "x" como en "y", pero ¿es un polinomio en "x" solo o en "y" solo? ?

Tenga en cuenta que la definición formal de un polinomio univariado como una tupla se puede extender a polinomios multivariados, definiendo una serie de potencias de k variables sobre R como una función de N ^k a R, y luego definiendo un polinomio de k variables sobre R como una serie de potencias de k variables que es cero excepto en un número finito de tuplas índice de entrada. Tenga en cuenta que un polinomio bivariado sobre R puede verse como un polinomio univariado sobre polinomios univariados sobre R, de la misma manera que las funciones pueden curry .

¿Implica esto que el símbolo x no tiene interpretación 'metalingüística'?

Entonces, la respuesta de su profesor en realidad no es lo suficientemente precisa como para determinar si está usando la definición puramente rigurosa. Hay una tercera definición posible, donde un polinomio es una función de la forma ( x ↦ a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n ), donde "+" y "*" se puede sobrecargar y "x^k" es solo una forma abreviada para el producto de "x". Tal función será indefinida o se bloqueará si se le da una entrada x para la cual cualquiera de las multiplicaciones o sumas no está definida. En este sentido, "x" en realidad no tiene sentido, sino que es, de hecho, un nombre de parámetro. Por supuesto, se puede usar un nombre de parámetro diferente (siempre y cuando no se use en otro lugar) sin cambiar el significado. La desventaja de este enfoque es que es muy difícil de formalizar con toda la sobrecarga,

En realidad, no es demasiado difícil usar la definición formal para capturar esta noción, a través del mapa de evaluación de polinomios univariados sobre R (donde R es un anillo), que asigna cada polinomio p y objeto x en R al valor ( a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n ). De manera similar para polinomios multivariados. Lo único es que siempre tenemos que usar este mapa de evaluación para 'aplicar' un polinomio a algún objeto. La gente crea naturalmente la abreviatura "p(x)" para el valor anterior, ¡a pesar de que esto entra en conflicto con la definición formal! (Según la definición formal, p(1) sería el coeficiente del término lineal, ¡pero por la abreviatura conveniente p(1) sería la suma de todos los coeficientes!)

¿Tiene algún sentido decir que "los símbolos son independientes del significado o la interpretación"?

Como espero que haya demostrado el resto de mi respuesta, en realidad no tiene mucho que ver con los polinomios y las declaraciones de su profesor. Dicho esto, de hecho es razonable decir que los símbolos son solo símbolos y carecen de significado a menos que los interpretes. En lógica matemática, incluso definimos específicamente una interpretación como una función en cadenas de símbolos, que pretende ser un mapa de sus 'significados'.

¿Puede existir un símbolo que no tenga ninguna "interpretación" o "significado"? En otras palabras, ¿cuál es el estatus ontológico de los símbolos?

Elija una colección arbitraria de 100 píxeles en un cuadrado de 100*100, y esa colección forma un símbolo. ¿Qué significado tiene? Bueno, podrías decirle a la gente que quieres usarlo para denotar algo, en cuyo caso tiene significado para quien acepte tu decisión. Así mismo podemos decir que la respuesta a su pregunta es "No". porque dado cualquier símbolo, puedo elegir interpretarlo para que signifique lo que quiera, y tendrá ese significado para mí.

De hecho, es inútil preguntar si una cadena de símbolos tiene significado (en sí misma), simplemente porque se le puede dar cualquier significado. Lo que hace que una interpretación particular sea útil es cuando se puede aplicar de manera uniforme a toda una colección de cadenas (como la semántica de primer orden sobre una estructura de primer orden aplicada a las oraciones de primer orden) y tiene propiedades no triviales (como la solidez y la integridad). ).

En tu ejemplo, "x" es un indeterminado del polinomio, ese es su significado. Normalmente se escribe "X" (mayúscula). La expresión "símbolo sin sentido" es engañosa.

Puede sustituir x por un valor arbitrario. Entonces también el polinomio se evalúa a un cierto valor bajo el supuesto de que conoces el valor de las constantes a_i.

comentario _ Gracias por la respuesta de @Kames Kingsbery, cambié a "indeterminado".

Solo una respuesta rápida: x no es un símbolo sin sentido, sino un signo sin sentido que apunta a otro signo cuyas conexiones están lógicamente estandarizadas. Si la x representara a otro objeto, se convertiría en un símbolo significativo. Por supuesto, el problema que está planteando pertenece a la rama de la lógica llamada filosofía de las matemáticas y los propios matemáticos generalmente no son filósofos, por lo que es posible que no estén preparados para responder preguntas filosóficas y su comunicación con los estudiantes lo refleja. Hacer una pregunta ontológica sobre las matemáticas, o sobre la realidad esencial de todos los sistemas deductivos de la lógica en general, es un poco como preguntar si la realidad concreta (creada por algún ser divino) es esencialmente lógica o esencialmente irracional pero parcialmente racionalizada por nosotros en el curso. de nuestras actividades.