Tengo la siguiente pregunta, bastante ingenua:
¿En qué medida puede compararse razonablemente la existencia a priori de objetos matemáticos con la existencia aparentemente a posteriori de objetos establecida, por ejemplo, por un lenguaje informático?
Elaborar:
Cuando se trabaja en lógica de primer orden, a menudo se impone una colección de axiomas y luego se asume en la metateoría la existencia a priori de algún universo de discurso que satisface los axiomas, a saber, un modelo, para vincular la semántica. En particular, la existencia de tal universo platónico está necesariamente establecida a priori.
Por otro lado, cuando se trabaja con un lenguaje informático, por ejemplo, se utilizan ciertas primitivas con las que se pueden generar "nuevos" objetos de interés, por ejemplo, nuevas configuraciones de cadenas o nuevas configuraciones de ciertos sistemas en un autómata. Las configuraciones resultantes de tal sistema parecen existir a posteriori.
Mi pregunta es, entonces, ¿hasta qué punto pueden compararse razonablemente estas dos nociones de existencia? ¿En qué sentido puede un sistema exhibir la noción de existencia en el otro? ¿Es cierto que las matemáticas asumen la existencia de objetos abstractos a priori, mientras que la existencia a posteriori de objetos en un lenguaje informático, como se citó anteriormente, es simplemente una instanciación física de todas las configuraciones posibles disponibles para la computadora a priori?
¿O es que para comparar estas nociones de existencia, si deseamos modelar algún universo que describa la dinámica de un sistema informático, exijamos que esté cerrado bajo todas sus funciones incorporadas, y en ese sentido todas posibles configuraciones existen a priori? ¿Cuál es la noción correspondiente de existencia dentro de un sistema informático que desempeña el papel del universo platónico? ¿Existe a priori o debe darse explícitamente como resultado de un proceso computacional? (En cambio, uno puede formular la pregunta en términos del universo físico, pero la restricción a un sistema informático impone restricciones más claras).
En lógica de primer orden, no asumimos la existencia de ningún modelo, estamos cuantificando sobre todos los modelos posiblemente existentes. Si demostramos que algo se sigue de nuestros axiomas, significa que todos los modelos que satisfacen nuestros axiomas también satisfacen la conclusión. Si, por alguna razón, no existe tal modelo (porque los axiomas eran inconsistentes), entonces nuestra prueba sigue siendo válida, quizás no muy útil (todavía podría ser útil si la prueba se puede aplicar a axiomas consistentes cambiados).
Geoffrey Thomas