¿Bajo qué lógica todas las matemáticas clásicas son verdaderas pero los enunciados indecidibles no son ni verdaderos ni falsos?

No en la lógica clásica, obviamente, ya que valida el medio excluido, pero menos obviamente tampoco en la lógica intuicionista. Los intuicionistas identifican la verdad y la demostrabilidad y descartan el medio excluido, lo que suena prometedor, pero el desafortunado efecto secundario de esto último es que muchas afirmaciones clásicamente demostrables (como el teorema del valor intermedio) ya no lo son. Para mayor precisión, considere las matemáticas clásicas y las declaraciones indecidibles en la teoría de conjuntos estándar (ZFC).

Aquí está la razón intuitiva por la que creo que debería haber algo de esa lógica. Un nominalista/formalista puede ver las matemáticas clásicas como un juego útil de símbolos jugado por reglas probadas por el tiempo, ahora codificadas formalmente. El medio excluido es una de las reglas y es perfectamente admisible, pero si las reglas no pueden determinar el valor de verdad de una declaración, entonces eso es todo: no hay un reino platónico al que llegar para encontrar una pieza faltante. Algo así como la hipótesis del continuo simplemente no tiene valor de verdad. Como bromeó alguien, la mayoría de los matemáticos son platónicos, la mayoría de los no matemáticos son nominalistas, por lo que este punto de vista puede ser ampliamente aceptado.

Tal visión me parece coherente y podría decirse que ofrece lo mejor de ambos mundos: todas las matemáticas clásicas, nada de bagaje platónico. El pluralismo teórico de conjuntos actualmente popular lo adopta esencialmente: "la realidad matemática puede entenderse mejor como fracturada e indeterminada", hay un multiverso de teorías de conjuntos, muchas reglas diferentes, muchos juegos diferentes.

A primera vista, parece que uno está usando la lógica clásica en el lenguaje objeto y la lógica intuicionista en el metalenguaje. Pero no estoy seguro de si eso se puede hacer de manera consistente o cómo funcionaría la semántica. Además, en la lógica clásica, la inexistencia de objetos trivializa las matemáticas, ya que todos los condicionales son vacuamente verdaderos, por lo que se necesitan algunos ajustes. ¿Existe una lógica elaborada que dé cabida al pluralismo?

Cada declaración es decidible en algunas teorías e indecidible en otras, por lo que no entiendo lo que está pidiendo.
@WillO Estoy hablando de matemáticas clásicas, es decir, ZFC, no de algunas teorías.
Sería bueno decir eso en su pregunta, que actualmente ni siquiera menciona ZFC.
Recuerde que el problema de la detención es irresoluble. Y muchas proposiciones indecidibles son indecidibles solo porque sus procedimientos de solución serían infinitamente largos. Pero no podemos detectar qué procedimientos no se detendrán. Entonces son indecidiblemente indecidibles. Por lo tanto, no puede saber exactamente a cuál de sus declaraciones no otorgar valores de verdad. En qué punto, ¿de qué sirve esta noción?
@jobermark No entiendo cómo el problema de detención es relevante. Y tampoco podemos saber siempre lo que es o no es verdad, pero eso no impide tener una noción de verdad.
No sé suficientes matemáticas para responder verdaderamente a la pregunta de qué lógica llamada causa esto, pero hay muchas pruebas que dependen de algo "existente", como el límite de una función. Declarar que un valor es verdadero o falso supone que ese valor existe en primer lugar, lo que puede no ser una suposición válida para problemas indecidibles. Por ejemplo, dividir por 0 no da un valor, y varias demostraciones de 1=2 dependen de la suposición de que cada división da como resultado un valor.
Pero hay una debilidad inherente en la noción de verdad, o no necesitaríamos considerar esta propuesta. No hace nada para resolver el problema que lo motiva. Sigue siendo demasiado abstracto para ser útil y no lo suficientemente abstracto para ser natural.
@Cort Ammon Sí, también hay muchas definiciones que dependen de algo existente (una solución única para una ecuación, por ejemplo), que debe probarse antes de ofrecer la definición. Pero el problema con la división por cero es mucho más manejable ya que no está permitido por la sintaxis. Las suposiciones sobre proposiciones indecidibles no causarían tales problemas porque por su naturaleza tomarlas o sus negaciones no pueden conducir a contradicciones.
No entiendo en absoluto la relación entre tu título y la pregunta que enfatizas. ¿Te importa que intentes vincularlos?

Respuestas (6)

La lógica de probabilidad probablemente hará el truco. Básicamente, la lógica de demostrabilidad toma el cuadro en lógica modal para representar la demostrabilidad en algún sistema S. Entonces, leería S como el sistema fundamental más fuerte que acepta (ZFC o lo que sea). Y leerías "p es verdadero" como "Cuadro p" y "p es falso" como "Cuadro ~p". No sé si esta es una forma terriblemente basada en principios de hacer las cosas, pero te dejaré la motivación a ti.

Editar: quiero alentarlo a que relaje el requisito de que "las declaraciones indecidibles no son ni verdaderas ni falsas". Si hay algo que hemos aprendido durante el siglo pasado, es que la verdad y la prueba pueden separarse. Y no es mejor vincular (verdad o falsedad) a la demostrabilidad.

Hallazgo interesante, una lógica modal que incluso Quine podría tragar. Pero parece que se resuelve solo para S siendo versiones de la aritmética, ¿hay algún problema con teorías más fuertes? Jugando al abogado de los nominalistas, uno podría decir que lo que aprendimos es que la verdad y la prueba que se separan es un precio a pagar por imaginar objetos detrás de símbolos matemáticos. Sin modelos estándar e interpretaciones previstas, que son una petición de principio contra los nominalistas, incluso las oraciones de Gödel no son verdaderas sino indemostrables, no son ni verdaderas ni falsas. O "verdadero" como demostrable en la aritmética de segundo orden.
La lógica de la demostrabilidad y la formalización del intuicionismo son lo mismo. El recuadro aísla los 'no' redundantes que le impone la pérdida de LEM en contextos que podrían no ser finitamente expresables.

También hay otro enfoque: las Matemáticas Constructivas , y en particular la versión de Bishop , que proporciona:

un desarrollo constructivo de gran parte del análisis del siglo XX, incluido el teorema de Stone-Weierstrass, los teoremas de Hahn-Banach y de separación, el teorema espectral para operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, los teoremas de convergencia de Lebesgue para integrales abstractas, Haar medida y la transformada abstracta de Fourier, [...].

Ver al menos:

y :

Voto, el análisis constructivo ha recorrido un largo camino. Pero pensé que imponer restricciones al razonamiento clásico era lo que hacía que el intuicionismo y el constructivismo fueran tan impopulares. ¿Existe una forma consistente de permitir el medio excluido, la elección, etc. en la teoría de conjuntos sin comprometerse con ellos semánticamente?
El propio Bishop lo considera un paso en el proceso de desarrollo matemático. Está bien probar cosas de forma clásica, pero las matemáticas no deben detenerse antes de intentar una prueba constructiva. La prueba constructiva proporciona mucho más que "verdad", proporciona métodos computacionales para manejar todos los objetos involucrados. Entonces, incluso si lo descarta como un requisito para la 'verdad', debería seguir siendo una meta.

Esto debería ser algún tipo de lógica paraconsistente. Enlace a la entrada de la Enciclopedia de Stanford aquí: http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/

Sería bueno si alguien pudiera hacer referencia a ejemplos de cualquier proyecto sobre esto. El artículo apunta a una investigación sobre algo llamado matemática inconsistente.

Se puede encontrar una buena descripción general del problema en el artículo de Priest, Mathematical Pluralism, Logic Jnl IGPL (2012) doi: 10.1093/jigpal/jzs018.

Las lógicas paraconsistentes excluyen la Ley de No Contradicción. Por lo tanto, excluirían cualquier teorema clásico para el cual actualmente no existe otra prueba que no sea un método de prueba de "prueba por contradicción", y cualquier teorema que dependa de tales teoremas.
Punto tomado, pero la pregunta original descartó las lógicas que aceptan el medio excluido difícil de ver cómo puede satisfacer esto sin algún tipo de paraconsistencia. La aritmética de relevancia de R# de Meyer parece una base para abordar el tipo de matemáticas necesarias para abordar los puntos planteados por la pregunta original y esto requiere algo similar a la lógica paraconsistente y las matemáticas inconsistentes. Realmente no veo cómo se puede evitar esto y satisfacer todos los requisitos de la pregunta original.
Las lógicas paraconsistentes están destinadas a contener contradicciones, pero ¿por qué surgirían aquí? La lógica intuicionista descarta el medio excluido sin descartar la no contradicción, por lo que uno puede mantenerse sin el otro. Y estoy pidiendo algo que es solo "parcialmente" intuicionista.
Creo que la respuesta se encuentra en la discusión del artículo sobre matemáticas inconsistentes. En particular, la sección de aritmética sobre aritmética relevante y el trabajo de Priest sobre eso y la sección sobre la naturaleza dual de la aritmética relevante y las matemáticas intuicionistas al final de la sección de análisis plato.stanford.edu/entries/mathematics-inconsistent
Permítanme agregar que la intención de gran parte del desarrollo de las matemáticas inconsistentes parece estar muy cerca de abordar los problemas que plantea. Podría estar equivocado aquí, tal vez no haya entendido la pregunta, pero me parece que las discusiones anteriores plantean en gran medida los mismos problemas que los abordados en el artículo de matemáticas inconsistentes y en el artículo de Priest sobre el pluralismo matemático. así que tengo la impresión de que estos son al menos algo relevantes aquí.
Dice que existe una dualidad entre el intuicionismo y la paraconsistencia, lo que supongo refleja la dualidad entre las leyes del medio excluido y las leyes de no contradicción, pero sigo sin ver la conexión. Las matemáticas inconsistentes son interesantes para abordar la consistencia de la aritmética, por ejemplo, pero el pluralismo no parece implicar contradicciones. ¿Podría explicar cuál es la relevancia?
Bueno, la forma en que pensaba sobre la indecidibilidad era desde una perspectiva dialeteísta. Tome una declaración S si S no es verdadera y S no es falsa, entonces no es ni verdadera ni falsa. Es indecidible, pero si denotamos que S no es verdadero con S' y su negación con ¬S', entonces creo que estaba pensando que lo último es que S no es falso. Así que la indecidibilidad es esencialmente una dialetheia. Como implica, tanto S' como ¬S' son verdaderas. Esto significa que, en principio, uno debería poder abordarlo con lógica paraconsistente (PL). ¿Se ha aplicado PL a las matemáticas? Sí. R# es una aplicación de la lógica de relevancia a la aritmética.
Debo agregar que R # no cumple con la primera parte de la pregunta porque, aunque la aritmética estándar de oraciones está contenida en R #, no todas las proposiciones estándar son demostrables en esto si leo correctamente a Meyer y Friedman en esto. Sin embargo, Priest afirma en Modelo inconsistente de aritmética, parte I que LP satisface esto. Entonces, esta debería ser una posible lógica candidata que satisfaga las necesidades de las preguntas originales.
Oh, ahora tiene más sentido, tal vez ponerlo en la respuesta para las personas que no revisan los comentarios. Pero la lógica intuicionista también descarta la ley de la doble negación, por lo que no se produce dialetheia (y desaparece la autodualidad). Sin embargo, no creo que una teoría inconsistente funcione, ya que la no contradicción se valida en ambos niveles. Las ideas de Priest podrían ser útiles para eliminar la trivialización de la inexistencia, especialmente sus "otros mundos", plato.stanford.edu/entries/nonexistent-objects/#OthWorStr , pero creo que no directamente.

Usted menciona el 'pluralismo teórico de conjuntos', por lo que ya sabe que la lógica clásica estándar, con la interpretación estándar a través de la teoría del modelo, ya es una lógica de este tipo.

Las cosas que son verdaderas en todos los modelos de tus axiomas son verdaderas, las cosas que son verdaderas en ningún modelo son falsas. Si puede crear un modelo coherente que contenga una afirmación y uno que no la contenga, entonces, por definición, no es ni verdadero ni falso, y no cumple ningún criterio.

Esto ya establece todo lo que preguntas, incluida la semántica, que está determinada por esa definición de verdadero y falso. También prescribe cómo 'funciona' la lógica: uno debe marcar y dejar de lado hipótesis independientes como axiomas iniciales potenciales y no usar hechos dentro de la misma prueba o construcción que requieren colecciones de axiomas contradictorios.

Así que pierdo el punto de la pregunta. Supuse que esperaba algún tipo de procedimiento de prueba finito o transfinito para tal lógica, pero sus respuestas indican lo contrario. Tal vez esté escondido en la motivación.

En este enfoque de la moderna teoría de conjuntos, no es necesario limitarse a nada tan débil como el intuicionismo o el constructivismo en las deducciones o en el "metalenguaje". Puedes escapar de muchas maneras, pero dos son obvias.

Primero, esta definición de verdad se basa en la construcción de universos de ejemplo internamente consistentes, y no en la deducción. Entonces, cosas como la ley del tercero excluido pueden tomarse como axiomáticas e incluirse como parte de la definición de consistente. Solo necesita 1) creer que los modelos isomórficos realmente actúan de la misma manera y 2) abandonar la noción de que hay un único metamodelo general de todo el universo que es internamente consistente.

En segundo lugar, puede estirar la noción de construcción hasta cierto punto. Los modelos más básicos, L y V, incluyen ordinales dentro de los modelos. Esto le brinda inducción transfinita y, por lo tanto, teoría de prueba transfinita, que permite pruebas 'constructivas' sobre una gama más amplia de cosas. Dada esa convención, puede suponer una torre de 'grandes axiomas cardinales' que llegan hasta el 'Ulitmate L' de Woodin que aumentan el poder de las pruebas infinitas al usar la idea de que uno de los 'pasos de unión' en cualquier deducción transfinita ocurrirá sobre un testigo del presunto axioma.

Además, no estoy afirmando que la lógica de la teoría de modelos esté libre de confusión, solo que, de hecho, existe. Un aspecto extraño de la semántica aquí que llamas al etiquetar las dos capas es que la construcción del modelo ocurre en una teoría de conjuntos mientras que los propios modelos representan instancias de otra.

Por ejemplo, "el axioma de determinación de juegos infinitos" contradice el axioma de elección. Estudiando el axioma de determinación, podemos crear un espacio de modelos del mismo. Entonces en todos esos modelos el axioma de elección es necesariamente falso. Pero los creamos integrados en un mundo en el que asumimos que el axioma de elección es verdadero y la semántica de la existencia de los modelos lo permite. La semántica dice, entonces, que las pruebas incrustadas requieren que sea falsa, pero nuestro conocimiento de esas pruebas depende de que sea potencialmente verdadera. Lo hacemos porque el universo donde es falso tiene menos libertad, por lo que estamos considerando un superconjunto de modelos que importarían si fuera falso. Si los extra no son reales, no se produce ninguna pérdida de credibilidad.

Pero, ¿y si hiciéramos lo contrario? Tendríamos verdades sobre el axioma de elección conocibles solo sujetas a su falsedad. La semántica admite tal cosa, pero es muy cuestionable si tiene algún significado real.

Hasta ahora, sorprendentemente hemos encontrado que nuestros axiomas independientes identificados claramente tienen un lado 'más grande' y otro 'más pequeño', o forman 'torres' de libertad, como la torre de los grandes axiomas cardinales, o la torre que tiene "finitismo, determinación, determinación proyectiva, determinación jerárquica, elección jerárquica, elección ramificada, elección" y va claramente de los mundos más pequeños a los más grandes.

De algún modo, no tienen puntos de confluencia en los que se vuelva ambiguo qué versión del mundo "admitería más modelos". Pero seguramente eso es simplemente la falta humana de imaginación en el trabajo? Parece irrazonablemente conveniente.

Buen punto, muestra cómo un platónico puede interpretar a un nominalista, pero me temo que no funciona al revés. Un modelo de ZFC es una asignación de valores de verdad a todas las oraciones bien formadas. Sin un universo imaginado platónicamente no existe tal cosa. Para un nominalista, ZFC no tiene modelos, y la cuantificación sobre "todos los modelos" es aún más problemática. Así que esta interpretación introduce más bagaje platónico del que uno tenía, y trató de evitar para empezar. Pero la meta-lógica aquí no es clásica, es una lógica modal con modelos como mundos posibles y la verdad equiparada a la necesidad.
Un modelo es menos que un mundo posible, bastante menos para que la mayoría de los formalistas acepten este modelo de razonamiento. Para empezar, la asignación de valores de verdad a las declaraciones en un modelo no tiene que cubrir todas las declaraciones, y no tiene que representar la 'verdad' más allá de no contradecir los axiomas.
De lo contrario, el teorema de incompletitud prácticamente prohibiría los modelos de aritmética o análisis, que la gente usa todo el tiempo. Sabemos que no podemos asignar valores de verdad a algunas afirmaciones. Entonces, ¿por qué nos molestaríamos en considerar solo asignaciones completas de valores de verdad, todos cero?
El teorema de incompletitud no limita la valoración de la verdad en los modelos platónicos, solo limita lo que se puede probar en los sistemas de primer orden. Los formalistas aceptan la teoría de modelos, pero para ellos un modelo de una teoría es otra teoría, incrustada en la teoría de conjuntos (ZFC+), no un conjunto. Esto no funcionaría para su semántica ya que los valores de verdad de todas las oraciones en todos los modelos deben estar disponibles para la cuantificación. Supongo que la idea es interpretar ZFC nominalistamente primero, luego extenderlo a la teoría del modelo. Eso significa que los conceptos de la teoría de modelos no se pueden usar para interpretar ZFC.
Está bien, pero lo incompleto de FOL indica que no debemos confiar en la asignación total de valores de verdad. Si aceptáramos la capacidad de llenar totalmente la semántica con valores de verdad, la gente no buscaría resultados independientes. No necesitaríamos toda esta capa de relativización entre dos teorías de conjuntos, buscaríamos un modelo único sin lagunas. Y ninguna de las teorías de conjuntos que se relativizan tiene que ser ZFC, así que no, partir de una nominalización de ZFC no es el enfoque. El enfoque es hacer modelos de una teoría de conjuntos en otra teoría de conjuntos.
Pero esto es exactamente lo que hace la semántica tarskiana. Uno se abstrae de cualquier limitación godeliana e imagina modelos completamente valorados en la verdad. La única forma en que realmente tiene sentido es si uno imagina un reino platónico con una correspondencia perfecta con los términos de la teoría. La relativización funciona de la siguiente manera: suponga que tiene un modelo de teoría de conjuntos X, entonces a partir de él se puede "construir" un modelo de teoría de conjuntos Y. El punto de partida típico es un "modelo estándar" de ZFC, también un postulado platónico. La independencia se relaciona con la demostrabilidad, no con la semántica, para eso está la relativización.

El medio excluido no implica que todo sea verdadero o falso. Por ejemplo, existe la lógica de cuatro valores cuyos valores de verdad son (T,T), (T,F), (F,T) y (F,F), y los conectores lógicos se aplican por elementos.

En esta lógica, (T,T) es verdadero y (F,F) es falso, pero aún tiene esos otros dos valores de verdad, y aún satisfacen la ley del tercero excluido; por ejemplo, si reemplazamos P=(T,F) en "P o no P", calculamos

  • (V, F) o no (V, F)
  • (V, F) o (F, T)
  • (T,T)

Resulta que hay algo formal simple que puedes hacer; definen una lógica multivaluada cuyos valores de verdad son precisamente las clases de equivalencia de enunciados, donde P y Q denotan el mismo valor de verdad si y solo si existe una prueba de Q a partir de P y una prueba de P a partir de Q.

En esta lógica, un enunciado es verdadero si y solo si es una tautología; esto incluye todos los teoremas de las matemáticas, como "los axiomas de Peano implican que 1+1=2".

Del mismo modo, toda contradicción es falsa.

Declaraciones como "ZFC implica CH" no serán ni verdaderas ni falsas.

Y a pesar de la semántica multivaluada, esto sigue siendo lógica clásica , satisfaciendo la ley del tercero excluido: por ejemplo, "P o no P" es una tautología y, en consecuencia, verdadera.

Hay formas en que uno puede interpretar razonablemente esto como un espacio de "todos los mundos matemáticos posibles"; por ejemplo, para ver la relación que "(ZFC implica CH)≡verdadero" como una ecuación que talla el subespacio de todo el 'universo' donde se mantiene la hipótesis continua.

I. Sería realmente extraño que la verdad/falsedad/ninguna de las afirmaciones sobre, digamos, aritmética pudiera depender de un montón de axiomas más o menos arbitrarios inventados por los seres humanos en el siglo XX.

Esto sugiere, por ejemplo, que Gauss, que nunca había oído hablar de ZFC, no habría tenido forma de saber que la afirmación "2+2=4" es verdadera y, de hecho, no habría podido formular una definición correcta de lo que significaría que esa afirmación sea verdadera.

II. Una declaración matemática dada puede tener más de una formalización en ZFC, y es posible que una de estas formalizaciones sea decidible y la otra no. En su cuenta, ¿tales declaraciones tienen valores de verdad?

tercero En cualquier caso, no está claro cuál es su sugerencia. ¿Cuál de los siguientes se acerca más?

Versión 1: la capacidad de decisión en ZFC hace que las declaraciones tengan valores de verdad.

Versión 2: El conjunto de sentencias que se pueden decidir en ZFC coincide con el conjunto de sentencias que tienen valores de verdad.

Versión 3: Alguna otra cosa.

IV. Usted escribe: "si las reglas no pueden determinar el valor de verdad de una declaración, entonces eso es todo" --- Ah. Pero la pregunta "¿Se sigue el teorema A de los axiomas B, C y D?" es una pregunta matemática, y acabas de admitir que tiene una respuesta . Eso significa, dado el resto de su programa, que está asumiendo que la declaración "El teorema A se sigue de los axiomas A, B y C" es decidible. Pero sabemos que hay enunciados de esa forma que no son decidibles. Así que creo que estás atorado en tu propio petardo.

Los axiomas de ZFC no son arbitrarios, se destilan de siglos de uso exitoso, incluso por parte de Gauss. Pero no entiende, este no es mi programa o sugerencia, solo estoy interesado en cómo uno puede combinar lógicamente diferentes principios en la teoría e interpretación de objetos en este ejemplo. Además, no hay necesidad de suponer que todas las preguntas de decidibilidad tienen respuestas para decir que las declaraciones indecidibles no son ni verdaderas ni falsas, así como no hay necesidad de conocer los valores de verdad de todas las oraciones para decir que los tienen. Qué oraciones tienen valores de verdad depende de la noción de verdad de uno, así que #3.
"Una declaración matemática dada puede tener más de una formalización en ZFC, y es posible que una de estas formalizaciones sea decidible y la otra no" ¿Puede dar un ejemplo?
¿Bajo qué lógica todas las matemáticas clásicas son verdaderas pero los enunciados indecidibles no son ni verdaderos ni falsos?
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