¿Los defensores modernos del formalismo están asociados con una opinión ontológica con respecto a los números?
Si ven las matemáticas como el proceso de manipular cadenas de acuerdo con reglas acordadas, no hay una necesidad inicial de semántica. En cierto modo, no necesitas la noción del número tres para hacer algún trabajo, que involucró la expresión "xxx". Y puedes hacer reglas de comparación como
'considere "xxx,xxxx", que contiene "xxx" y "xxxx" y luego elimine un símbolo "x" en el lado izquierdo y derecho de forma iterativa y elija izquierda o derecha según cuál no tenga ningún símbolo primero'.
Algunos puntos por los que tengo problemas para ver una respuesta: en la página de wikipedia, por ejemplo, dice
"Según el formalismo, las verdades expresadas en lógica y matemáticas no se refieren a números, conjuntos o triángulos ni a ningún otro tema contencioso; de hecho, no se refieren a nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyas formas y ubicaciones no tienen significado a menos que se les dé una interpretación (o semántica)".
No estoy seguro de si esta declaración debe interpretarse de tal manera que la mera posibilidad de, por ejemplo, considerar la cantidad de símbolos en una cadena y la posibilidad de abstracción de comparar dos longitudes de cadena, debería implicar que existe alguna existencia y verdad a 3 y 4 y luego 3<4 respectivamente.
La observación de que, en la última línea, aquí en esta pregunta solo puedo decirle de qué estoy hablando al introducir nuevos símbolos y cadenas "3", "4" y "3<4" oscurece o amplifica el problema: si uno interactúa con otras personas, ¿cuándo se puede hablar realmente sobre el concepto abstracto, si necesito denotarlos con cadenas, palabras, sonidos u otras señales de todos modos? Cuanto más se habla de ello, más parece innecesaria cualquier suposición ontológica positiva. Y también podría traducir el problema a mi propio pensamiento. Después de todo, me estoy comunicando aquí, o escribo un texto en una computadora, que solo, tal vez, sea leído por otras personas más tarde.
Pero si es el caso de que los formalistas no sienten la necesidad de hablar sobre la existencia de otras cosas además de sus cadenas (es decir, si no hay "nada real" en cualquier número, etc.), por ejemplo, el ultrafinitismo se considera una posición radical . Se habla de que tienen un punto de vista restrictivo muy fuerte, pero si hay otros matemáticos/lógicos/filósofos que descartan el concepto por completo, es decir, personas cuya posición es totalmente vertical a la posición de los creyentes, entonces el ultrafinitismo no es particularmente ideas radicales, un escalón más abajo en la jerarquía que niegan ciertas cosas.
Parecería que el formalismo podría verse como una especie de ficcionalismo matemático y no requeriría compromisos ontológicos de ningún tipo. Ambos artículos SEP vinculados están llenos de más detalles.
Una visión formalista estricta generalmente no puede decir cuándo las reglas formales de un sistema son inconsistentes. Asumiendo el principio de explosión , la inconsistencia conduce a la ruptura del sistema, con todas las fórmulas bien formadas derivables. Si, por otro lado, uno cree en la existencia de, digamos, los números naturales, entonces puede decir que el sistema de Peano no conducirá a una contradicción. Entonces, la visión formalista de los diversos debates ontológicos sería que hay diferentes posiciones en las que los sistemas formales no se rompen: PA, ZFC, grandes axiomas cardinales, etc.
Pero dado que el formalista no tiene forma de saber qué posición tiene, supongo que el ultrafinitismo NO será visto como radical. La posición sorprendente del ultrafinitismo es que incluso los axiomas de Peano podrían conducir a una contradicción, ya que permiten números arbitrariamente grandes más allá de cualquier experiencia normal. Esto será radical sólo si uno se compromete semánticamente con los números naturales.
Nikolaj-K
dennis
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